Ta có:
$M$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).         $(1)$
Dây cung $DE$ vuông góc với đường kính $AC$ tại $M$ nên $MD=ME$ (Quan hệ giữa đường kính và dây cung)          $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra tứ giác ADBE là hình thoi (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác này là hình bình hành, đồng thời 2 đường chéo này vuông góc với nhau nên hình bình hành này là hình thoi).

Ta thấy tam giác $ADC$ là tam giác vuông tại $D$(vì có cạnh $AC$ là đường kính của đường tròn $(O)$) $\Rightarrow AD$ vuông góc $DC$           $(3)$
Theo câu a) tứ giác $ADBE$ là hình thoi nên $AD$ song song $EB$.         $(4)$
Từ $(3), (4)$ suy ra $EB$ vuông góc $DC$          $(5)$
Mặt khác, ta có tam giác $IBC$ là tam giác vuông tại $I$ (vì có cạnh $BC$ là đường kính của đường tròn $(O')$) $\Rightarrow BI$ vuông góc $IC$              $(6)$
Từ $(5), (6)$ suy ra $EI$ vuông góc với $DC$ hay tam giác $IDE$ là tam giác vuông tại $I$.
Lại có $M$ là trung điểm của $DE$, do đó $MI=MD=ME=\frac{1}{2}DE$ (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền).
$\begin{cases}\widehat{O'IB}=\widehat{O'BI}=\widehat{MBE} \\ \widehat{MIE}=\widehat{MEI} \\ \widehat{MEI}+\widehat{MBE}=90^{0} \end{cases}\Rightarrow \widehat{MIE}+\widehat{O'IB}=90^{0}$ hay $MI$ vuông góc $IO'$.
Vậy $MI$ là tiếp tuyến của $(O')$

Ta thấy $\Delta ADC$ đồng dạng $\Delta BIC$:
$\frac{MC}{AC}=\frac{HC}{BC} \Rightarrow \frac{MC}{AC-MC}=\frac{HC}{BC-HC}\Leftrightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{HC}{HB}\Leftrightarrow \frac{MC}{MB}=\frac{HC}{HB}$ (vì $MA=MB$)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.