Bất đẳng thức này không khó( chỉ hướng dẫn)

Áp dụng cô si cho hai số ta có: VT$\leq   1-x^2+ 1-y^2=2 –( x^2+ y^2) \leq   2 (*)$

VP$= 2xy-(x+y)+3.$

Do theo giả thiết $x,y$ thuộc $[0,1] $nên suy ra :$ (1-x)(1-y)\geq  0$ tức $ xy-(x+y)\geq  -1$

Suy ra : $xy-(x+y) +3\geq  2$ suy ra  VP= $2xy-(x+y)+3\geq  2$ (vi $xy\geq  0) (**)$

Từ (*) và (**) ta có đpcm. ( dấu bằng xảy ra khi nào chắc ko khó nữa rồi!)

Hướng dẫn :
Từ pt(1) dk $y$ khác $0$ nhân cả hai vế với $y$ rồi biến đổi ta co: $2y(x^{2} - 1) +(x-1)=0$ suy ra hai trường hợp : $x=1$ hoặc $2y(x+1)+1=0$
Trường hợp $x=1$ thay vao pt $(2)$ và chú ý dk $y$ khác $0$ ta tìm dc $y=1/3$.
Trường hợp  $2$ tìm $y$ theo $x$ rồi thay vào pt $2$ ta giải pt bậc $2$ theo $x.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4

Đề bài còn thiếu bạn ah, bài toán trên chỉ đúng với mọi a,b,c >0 . Thật vậy nếu bạn cho a= -1; b = -2; c = -3. VP=  ; VT= . vậy mâu thuẫn.

Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 Với a, b, c >0. Ta có:
 BDT <=> (a^2/b+b^2/c+c^2/a)(ab+bc+ca) ≥ ( Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 a^{2}+b^{2}+c^{2}) ( a+b+c)

Khai triển và rút gọn ta được:
<=> (c.a^3/b+ ab^3/c+bc^3/a) ≥ a^2b+b^2c+c^2a.
<=>1/2(c.a^3/b+ ab^3/c)+1/2(ab^3/c+bc^3/a)+1/2(c.a^3/b+ bc^3/a) ≥ a^2b+b^2c+c^2a.
Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4

Tới đây áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có:
 1/2(c.a^3/b+ ab^3/c)≥ a^2b.
Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4

Làm tương tự như vậy ta có điều phải chứng minh

Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4

Normal 0 false false false EN-US X-NONE X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c. (Điều này suy ra từ điều kiện bất đẳng thức và một vài phép biến đổi)

 

 

Đề bài còn thiếu bạn ah, bài toán trên chỉ đúng với mọi a,b,c >0 . Thật vậy nếu bạn cho a= -1; b = -2; c = -3. VP=  ; VT= . vậy mâu thuẫn.

  Với a, b, c >0. Ta có:
 BDT <=> (a^2/b+b^2/c+c^2/a)(ab+bc+ca) ≥  (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)

Khai triển và rút gọn ta được:
<=> (c.a^3/b+ ab^3/c+bc^3/a) ≥ a^2b+b^2c+c^2a.
<=>1/2(c.a^3/b+ ab^3/c)+1/2(ab^3/c+bc^3/a)+1/2(c.a^3/b+ bc^3/a) ≥ a^2b+b^2c+c^2a.

Tới đây áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có:
 1/2(c.a^3/b+ ab^3/c)≥ a^2b.

Làm tương tự như vậy ta có điều phải chứng minh

dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c. (Điều này suy ra từ điều kiện bất đẳng thức và một vài phép biến đổi)