Ta giải dạng toán tổng quát như sau:\log_{x} (x+1)>\log_{x+1} (x+2)\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{x+1} x}>\log_{x+1} (x+2)\Leftrightarrow 1>\log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x (1)Áp dụng bđt cosi :\log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x\leq \frac{1}{4}(\log_{x+1} (x+2)+\log_{x+1} x)^2\Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x\leq\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x+2).x)^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x\leq\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x^2+2x))^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x<\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x^2+2x+1))^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x<\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x+1)^2)^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x<\frac{1}{4}.2^2=1 (2)Từ (1) và (2):\Rightarrow Đpcm....BĐT cosi:a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab\Leftrightarrow \frac{1}{4}(a+b)^2\geq ab
Ta giải dạng toán tổng quát như sau:Điều kiện: x>1\log_{x} (x+1)>\log_{x+1} (x+2)\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{x+1} x}>\log_{x+1} (x+2)\Leftrightarrow 1>\log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x (1)Áp dụng bđt cosi :\log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x\leq \frac{1}{4}(\log_{x+1} (x+2)+\log_{x+1} x)^2\Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x\leq\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x+2).x)^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x\leq\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x^2+2x))^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x<\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x^2+2x+1))^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x<\frac{1}{4}(\log_{x+1} (x+1)^2)^2 \Leftrightarrow \log_{x+1} (x+2).\log_{x+1} x<\frac{1}{4}.2^2=1 (2)Từ (1) và (2):\Rightarrow Đpcm....BĐT cosi:a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab\Leftrightarrow \frac{1}{4}(a+b)^2\geq ab