Dat $x^2+x+3=a$ va $2x^2+4x+5=b$, ta co $$log_3^{\frac{a}{b}}=b-a$$ . Hay $$log_2^a-loog_3^b=b-a$$ Dieu nay tuong duong voi $$log_3^a+a=log_3^b+b\quad (*)$$ .Vi $log_3^t+t$ la ham dong bien theo $t$ tren $[0,+\infty)$ nen $(*)$ dung neu va chi neu $a=b$. Nhu vay $$b-a=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0$$ De thay tai $x=1,x=0$thi$b\ne 0$. Do vay nghiem cua phuong trinh da cho la$x=1,x=0$

Dat $x^2+x+3=a$ va $2x^2+4x+5=b$, ta co $$log_3^{\frac{a}{b}}=b-a$$ . Hay $$log_2^a-loog_3^b=b-a$$ Dieu nay tuong duong voi $$log_3^a+a=log_3^b+b\quad (*)$$ .Vi $log_3^t+t$ la ham dong bien theo $t$ tren $[0,+\infty)$ nen $(*)$ dung neu va chi neu $a=b$. Nhu vay $$b-a=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0$$ De thay tai $x=-1,x=-2$thi$b\ne 0$. Do vay nghiem cua phuong trinh da cho la$x=-1,x=-2$

Gia su $x+y+z$ khong chia het cho $3$ thi $(x-y)(y-z)(z-x)$ khong chia het cho $3$. Do vay $x,y,z$ khong co cung so du khi chia cho $3$ nen co the gia su rang $x\equiv 0 (mod 3), y\equiv 1(od 3), z\equiv 2 (mod 3)$. Tuy nhien, khi do $x+y+z\equiv 0(mod 3)$ (Mau thuan). Vay nen $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$ chia het cho $3$. Suy ra ton tai hai trong ba so $x,y,z$ chia het cho $3$. Khong mat tinh tong quat, gia su $x\equiv y \equiv r(mod 3)$.Neu $r=1$, do $x+y+z$ chia het cho $3$ nen $z\equiv 1 (mod 3)$. Neu $r=2$, tuong tu ta co $z\equiv 2 (mod 3)$. Neu $r=0$, ta co $z\equiv 0 (mod 3)$.Tom lai $x\equiv y\equiv z (mod 3)$. Do vay $(x-y)(y-z)(z-x)$ chia het cho $27$. Nen $x+y+z$ chia het cho $27$.

Gia su $x+y+z$ khong chia het cho $3$ thi $(x-y)(y-z)(z-x)$ khong chia het cho $3$. Do vay $x,y,z$ khong co cung so du khi chia cho $3$ nen co the gia su rang $x\equiv 0 (mod 3), y\equiv 1(mod 3), z\equiv 2 (mod 3) $. Tuy nhien, khi do$x+y+z\equiv 0(mod 3)$(Mau thuan). Vay nen$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$chia het cho$3$. Suy ra ton tai hai trong ba so$x,y,z$chia het cho$3$. Khong mat tinh tong quat, gia su$x\equiv y \equiv r(mod 3)$.Neu$r=1$, do$x+y+z$chia het cho$3$nen$z\equiv 1 (mod 3)$. Neu$r=2$, tuong tu ta co$z\equiv 2 (mod 3)$. Neu$r=0$, ta co$z\equiv 0 (mod 3)$.Tom lai$x\equiv y\equiv z (mod 3)$. Do vay$(x-y)(y-z)(z-x)$chia het cho$27$. Nen$x+y+z$chia het cho$27$.

Gia su $x+y+z$ khong chia het cho $3$ thi $(x-y)(y-z)(z-x)$ khong chia het cho $3$. Do vay $x,y,z$ khong co cung so du khi chia cho $3$ nen co the gia su rang $x\equiv 0 (mod 3), y\equiv 1(od 3), z\equiv 2 (mod 3)$. Tuy nhien, khi do $x+y+z\equiv 0(mod 3)$ (Mau thuan). Vay nen $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$ chia het cho $3$. Suy ra ton tai hai trong ba so $x,y,z$ chia het cho $3$. Khong mat tinh tong quat, gia su $x\equiv y \equiv r(mod 3)$.Neu $r=1$, do $x+y+z$ chia het cho $3$ nen $z\equiv 1 (mod 3)$. Neu $r=2$, tuong tu ta co $z\equiv 2 (mod 3)$. Neu $r=0$, ta co $z\equiv 0 (mod 3)$.Tom lai $x\equiv y\equiv z (mod 3)$. Do vay $(x-y)(y-z)(z-x)$ chia het cho $27$. Nen $x+y+z$ chia het cho $27$.

Gia su $x+y+z$ khong chia het cho $3$ thi $(x-y)(y-z)(z-x)$ khong chia het cho $3$. Do vay $x,y,z$ khong co cung so du khi chia cho $3$ nen co the gia su rang $x\equiv 0 (mod 3), y\equiv 1(od 3), z\equiv 2 (mod 3)$. Tuy nhien, khi do $x+y+z\equiv 0(mod 3)$ (Mau thuan). Vay nen $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$ chia het cho $3$. Suy ra ton tai hai trong ba so $x,y,z$ chia het cho $3$. Khong mat tinh tong quat, gia su $x\equiv y \equiv r(mod 3)$.Neu $r=1$, do $x+y+z$ chia het cho $3$ nen $z\equiv 1 (mod 3)$. Neu $r=2$, tuong tu ta co $z\equiv 2 (mod 3)$. Neu $r=0$, ta co $z\equiv 0 (mod 3)$.Tom lai $x\equiv y\equiv z (mod 3)$. Do vay $(x-y)(y-z)(z-x)$ chia het cho $27$. Nen $x+y+z$ chia het cho $27$.