Ban giai sai roi, khong can dieu kien $\triangle ABC$ deu. Loi giai nhu sau: Goi diem doi xung cua $O$ qua $AB, BC, CA$ lan luot la $C',A',B'$. Vi $O$ la tam duong tron ngoai tiep $\triangle ABC$ nen $OA=OB=OC$ nen cacs hinh sau la hinh thoi : OBA'C, OAC'B, OCB'A. Do vay $$\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC'} \\\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{OB'}\\ \vec{OC}+\vec{OB}=\vec{OA'}$$ Tu do say ra $M=C', N=A', P=B'$

Ban giai sai roi, khong can dieu kien $\triangle ABC$ deu. Loi giai nhu sau: Goi diem doi xung cua $O$ qua $AB, BC, CA$ lan luot la $C',A',B'$. Vi $O$ la tam duong tron ngoai tiep $\triangle ABC$ nen $OA=OB=OC$ nen cac hinh sau la hinh thoi : $OBA'C, OAC'B, OCB'A.$ Do vay $$\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OC'} \\\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{OB'}\\ \vec{OC}+\vec{OB}=\vec{OA'}$$ Tu do say ra $M=C', N=A', P=B'$

Giai tong quat luon cho cac cau: Voi $a+b+c+d\ne 0$, ta luon xac dinh duoc diem $Q$ duy nhat sao cho $$a\vec{OA}+ b\vec{OB}+ c\vec{OC} +d\vec{OD}=(a+b+c+d)\vec{OQ}$$ Ta co $$a\vec{MA}+ b\vec{MB}+ c\vec{MC}+d\vec{MD}\\= a(\vec{MO}+\vec{OA})+b(\vec{MO}+\vec{BO})+c(\vec{MO}+\vec{OC})+d(\vec{MO}+\vec{OD})\\= (a+b+c+d)(\vec{MO}+\vec{OQ})=(a+b+c+d)vec{MQ}$$ Ta co $a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}+d\vec{OD}=k\vec{MI}$ voi moi $M$ nen $k\vec{MI}=(a+b+c+d)\vec{MQ}$ voi moi $M$. Do vay $k=a+b+c+d$ va $I =Q$. Voi cac cau a)b)c)d) ta chi can thay so la OK.

Giai tong quat luon cho cac cau: Voi $a+b+c+d\ne 0$, ta luon xac dinh duoc diem $Q$ duy nhat sao cho $$a\vec{OA}+ b\vec{OB}+ c\vec{OC} +d\vec{OD}=(a+b+c+d)\vec{OQ}$$ Ta co $$a\vec{MA}+ b\vec{MB}+ c\vec{MC}+d\vec{MD}\\= a(\vec{MO}+\vec{OA})+b(\vec{MO}+\vec{BO})+c(\vec{MO}+\vec{OC})+d(\vec{MO}+\vec{OD})\\= (a+b+c+d)(\vec{MO}+\vec{OQ})=(a+b+c+d)\vec{MQ}$$Ta co $a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}+d\vec{OD}=k\vec{MI}$ voi moi $M$ nen $k\vec{MI}=(a+b+c+d)\vec{MQ}$ voi moi $M$. Do vay $k=a+b+c+d$ va $I =Q $. Voi cac cau a)b)c)d) ta chi can thay so la OK.

$MA+MB$ lon nhat khi va chi khi $M=AB'\cap d$, trong do $B'$ la diem doi xung voi $B$ qua $d$. Dat $B'=(a,b)$, ta co $\vec{BB'}=(a-2, b-5)'\bot d$. Cho nen$$\frac{a-2}{1}=\frac{b-5}{-2}$$Do vay, dat$a=t+2, b=-2t+5$. Goi trung diem cua$BB'$la$X$thi$X=(\frac{a+2}{2},\frac{b+5}{2})=(2+\frac{t}{2}, -t+5)$va$X\in d$. Do vay$$(2+\frac{t}{2})-2(-t+5)+2=0\Rightarrow t=12/5$$Nhu vay$B'=(22/5, 1/5)$. Phuong trinh duong thang$AB'$la$$\frac{x-22/5}{0-22/5}=\frac{y-1/5}{6-1/5}$$Vi$M\in AB'$nen dat$M=(\frac{22}{5}(-t+1),\frac{1}{5}(39t+1)) \quad (*)$. Do$M\in d$nen$$\frac{22}{5}(-t+1)-\frac{2}{5}(39t+1)+2=0\Rightarrow t=\frac{3}{10}$$Thay$t$vao$(*)$ta duoc toa do cua$M$

$MA+MB$ lon nhat khi va chi khi $M=AB'\cap d$, trong do $B'$ la diem doi xung voi $B$ qua $d$. Dat $B'=(a,b)$, ta co $\vec{BB'}=(a-2, b-5)\bot d$. Cho nen $$\frac{a-2}{1}=\frac{b-5}{-2}$$ Do vay, dat $a=t+2, b=-2t+5$. Goi trung diem cua $BB'$ la $X$ thi $X=(\frac{a+2}{2},\frac{b+5}{2})=(2+\frac{t}{2}, -t+5)$ va $X\in d$. Do vay $$(2+\frac{t}{2})-2(-t+5)+2=0\Rightarrow t=12/5$$ Nhu vay $B'=(22/5, 1/5)$. Phuong trinh duong thang $AB'$ la $$\frac{x-22/5}{0-22/5}=\frac{y-1/5}{6-1/5}$$ Vi $M\in AB'$ nen dat $M=(\frac{22}{5}(-t+1),\frac{1}{5}(39t+1)) \quad (*)$. Do $M\in d$ nen $$\frac{22}{5}(-t+1)-\frac{2}{5}(39t+1)+2=0\Rightarrow t=\frac{3}{10}$$ Thay $t$ vao $(*)$ ta duoc toa do cua $M$

Ta co $a^b=b^a$ suy ra $blna=alnb\Rightarrow \frac{lna}{a}=\frac{lnb}{b}$. Xet ham so $f(t)=\frac{lnt}{t}$ co $f'(t)=\frac{1-lnt}{t^2}$. Ta thay $f'(t)<0$ voi $t>2$ va $f'(t)>0$ voi $t\leq2$. Neu co $a\ne b, a,b\in \mathbb{Z}$ ma $f(a)=f(b)$ thi mot trong hai so phai nho hon hoac bang $2$, so con lai lon hon $2$. Thu cho $a=1,2$ dan toi ko co $b$ thoa man. Vay vo nghiem

Ta co $a^b=b^a$ suy ra $blna=alnb\Rightarrow \frac{lna}{a}=\frac{lnb}{b}$. Xet ham so $f(t)=\frac{lnt}{t}$ co $f'(t)=\frac{1-lnt}{t^2}$. Ta thay $f'(t)<0$ voi $t>2$ va $f'(t)>0$ voi $t\leq2$. Neu co $a\ne b, a,b\in \mathbb{Z}$ ma $f(a)=f(b)$ thi mot trong hai so phai nho hon hoac bang $2$, so con lai lon hon $2$. Thu cho $a=1,2$ dan toi ko co $b=4$ thoa man ( xet $2^b=b^2$ thi $b=2^h$ voi $h$ la so nguyen nao do. Suy ra $2^{2^h}=2^{2h}$ nen $h=2$). Vay nghiem la $a=2,b=4$ hoac $b=4,a=2$