|
|
|
Dãy (u_n) xác định bởi: \begin{cases}u_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},\forall n\geq 1\end{cases}
Ta sẽ chừng minh (u_n) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2.
Nghĩa là u_n<u_{n+1}<2,\forall n\geq 1 (*).
Dễ thấy u_1<u_2<2 nên (*) đúng với n=1.
Giả sử (*) đúng với n=k nghĩa là u_k<u_{k+1}<2.
Suy ra \sqrt{2+u_k}<\sqrt{2+u_{k+1}}<\sqrt{2+2} hay u_{k+1}<u_{k+2}<2.
Do đó (*) đúng với n=k+1.
Theo nguyên lý quy nạp (*) đúng với mọi n, khi đó dãy (u_n) họi tụ đến 0<L\leq 2.
Ta có: L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L=2.
|