Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta thấy $\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$ nên $f$ liên tục tại $0$.
Ta có:
$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos 3x-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin 2x\sin x}{x^2}=-4$.
Do đó $\exists f'(0)$ và $f'(0)=-4$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giả sử $M$ là điểm thỏa mãn bài toán.
Trong nửa mặt phẳng bờ $MB$ chứa điểm $C$ dựng $\Delta MBD$ đều.
Dễ thấy $\Delta MAB=\Delta DCB$, suy ra $MA=CD$.
Khi đó: $CD^2=MD^2+MC^2$ hay $\Delta MCD$ vuông tại $M$.
Nghĩa là $M$ thuộc cung chưa góc $150^o$ dựng trên đoạn $BC$.
Đảo lại nếu $\widehat{BMC}=150^o$ thì $MA^2=MB^2+MC^2$.

Vì $n+\frac{1}{n}>n$ và $\lim n^n=+\infty$ nên $\lim \left( n+\frac{1}{n}\right)^n=+\infty.$

Thế $y$ từ PT thứ 2 vào PT thứ 1 ta được:
$x^2+9(x^2-2x)^2=9$
$\Leftrightarrow 9x^4-36x^3+10x^2-9=0$
Đặt $f(x)=9x^4-36x^3+10x^2-9$.
Có $f(-1)>0,f(0)<0,f(2018)>0$ nên PT $f(x)=0$ có ít nhất 2 nghiệm.
Vậy hệ đã cho có ít nhất 2 nghiệm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$\frac{m}{4^x}-\frac{2m+1}{2^x}+m+4=0.    (1)$
Đặt $\frac{1}{2^x}=t$ thì phương trình trở thành:
$f(t)=mt^2-(2m+1)t+m+4=0.    (2)$
Vì $m\neq 0$ nên $(2)$ là PT bậc 2 ẩn $t$.
PT $(1)$ có 2 nghiệm thỏa mãn $-1<x_1<0<x_2$ khi và chỉ khi PT $(2)$ có 2 nghiệm thỏa mãn $t_1<1<t_2<2$. Điều này tương đương với:
$\begin{cases} \Delta>0\\ mf(1)<0\\ mf(2)>0\\\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 1-12m>0\\3m<0\\ m(3m+2)>0\end{cases}\Leftrightarrow m<-\frac{2}{3}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $\begin{cases}u_1=\sqrt{2}\\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n},\forall n\geq 1\end{cases}$
Ta sẽ chừng minh $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2.
Nghĩa là $u_n<u_{n+1}<2,\forall n\geq 1    (*).$
Dễ thấy $u_1<u_2<2$ nên $(*)$ đúng với $n=1$.
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$ nghĩa là $u_k<u_{k+1}<2$.
Suy ra $\sqrt{2+u_k}<\sqrt{2+u_{k+1}}<\sqrt{2+2}$ hay $u_{k+1}<u_{k+2}<2$.
Do đó $(*)$ đúng với $n=k+1$.
Theo nguyên lý quy nạp $(*)$ đúng với mọi $n$, khi đó dãy $(u_n)$ họi tụ đến $0<L\leq 2$.
Ta có: $L=\sqrt{2+L}\Rightarrow L=2$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết