Theo khai triển nhị thức Newton dễ thấy $a_{2i+1}<0$ và $a_{2i}>0$.
Ta có: $x(1-3x)^{20}=a_0x+a_1x^2+...+a_{20}x^{21}$.
Đạo hàm 2 vế ta được:
$(1-3x)^{20}-60x(1-3x)^{19}=a_0+2a_1x+...+21a_{20}x^{20}$.
Thay $x=-1$ ta được:
$S=a_0-2a_1+...+21a_{20}=4^{20}+60.4^{19}=2^{25}$.

Ta có:
$MN+NP+PM=EN+NP+PF\geq EF$
Dễ thấy $\widehat{EAF}=2\widehat{BAC}=2A$. Ta có:
$\frac{EF}{AE}=\frac{\sin 2A}{\sin (90^0-A)}=2\sin A$
Từ đó suy ra $EF=2AE\sin A=2AM\sin A\geq 2AI\sin A.$

Viết lại hệ đã cho dưới dạng:
\begin{cases} 2x^2-xy+y^2=3y-x \\ x-2y=x^2+xy-3y^2 \end{cases}
Nhân 2 PT trên vế theo vế ta được:
\[ (2x^2-xy+y^2)(x-2y)=(3y-x)(x^2+xy-3y^2)\]
\[ \Leftrightarrow 3x^3-7x^2y-3xy^2+7y^3=0 \]
\[ \Leftrightarrow (x^2-y^2)(3x-7y)=0\]
Nếu $x=y$ thì $2x^2=2x$ hay $x=0$ hoặc $x=1$.
Nếu $x=-y$ thì $3x=-3x^2$ hay $x=0$ hoặc $x=-1$.
Nếu $3x=7y$ thì $-\frac{11}{3}x=-13x^2$ hay $x=0$ hoặc $x=\frac{11}{39}$.
Thử lại, ta thấy hệ đã cho có nghiệm $(0,0),(1,1),(-1,1),\left( \frac{11}{39},\frac{77}{117}\right) $.

a) Ta có:
$x^2-2x+2\sqrt{x^2-2x+2}=2m-1    (1)$
$\Leftrightarrow x^2-2x+2+2\sqrt{x^2-2x+2}+1=2m+2$.
Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=t$ thì $t\geq 1$. PT đã cho được viết lại dưới dạng $(t+1)^2=2m+2.    (2)$
PT $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi PT $(2)$ có nghiệm $t\geq 1$, hay $m\geq 0$.

b) Ta có:
$\sqrt{2x^2+mx-3}=x-m.    (3)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x\geq m \\ 2x^2+mx-3=(x-m)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x\geq m \\ f(x)=x^2+3mx-m^2-3=0     (4)\end{cases}$
PT $(3)$ vô nghiệm khi và chỉ khi hệ trên vô nghiệm.
Dễ thấy $(4)$ có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$ nên hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $(4)$ có 2 nghiệm $x_1<x_2<m$. Điều này tương đương với:
$\begin{cases} f(m)>0 \\ -\frac{3}{2}m<m \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3(m^2-1)>0\\ m>0\end{cases}\Leftrightarrow m>1$.
Vậy PT $(3)$  có nghiệm khi và chỉ khi $m\leq 1$.

Ta có: $(mn+np)(np+pm)(pm+mn)\leq \left( \frac{(mn+np)+(np+pm)+(pm+mn)}{3}\right) ^3=8$
hay $mnp(m+n)(n+p)(p+m)\leq 8$.
Dễ thấy $mnp\leq 1$ nên $(mnp)^2(m+n)(n+p)(p+m)\leq 8.$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
$\frac{1}{mnp}+\frac{1}{mnp}+\frac{8}{(m+n)(n+p)(p+m)} \geq 3\sqrt[3]{\frac{8}{(mnp)^2(m+n)(n+p)(p+m)}}\geq 3$
hay $\frac{1}{mnp}+\frac{4}{(m+n)(n+p)(p+m)}\geq \frac{3}{2}$.
Dầu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $m=n=p=1$.

ĐKXĐ: $x\geq 0$.
Ta có:
$2(x-\sqrt{x})^2-4(x-\sqrt{x})+4=\frac{3x+3\sqrt{x}-1}{(x+1)\sqrt{\sqrt{x}+1}}$
$\Leftrightarrow 2(x-\sqrt{x}-1)^2+\frac{2(x+1)\sqrt{\sqrt{x}+1}-3x-3\sqrt{x}+1}{(x+1)\sqrt{\sqrt{x}+1}}=0$
$\Leftrightarrow  2(x-\sqrt{x}-1)^2+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{\sqrt{x}+1})^2(1+2\sqrt{\sqrt{x}+1})}{2(x+1)\sqrt{\sqrt{x}+1}}=0$
$\Leftrightarrow  \begin{cases} x-\sqrt{x}-1=0 \\ \sqrt{x}-\sqrt{\sqrt{x}+1}=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow  x-\sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow  x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

a) Giả sử $I'$ là ảnh của $E$ qua phép đối xứng trục $AC$. Dễ thấy $EI'//BD$ suy ra $I\in EI'$.
Vì $F$ là ảnh của $E$ qua phép đối xứng qua $O$ và $AC$ vuông góc với $BD$ tại $O$ nên $I'$ là ảnh của $F$ qua phép đối xứng trục $BD$. Dễ thấy $FI'//AC$ suy ra $I\in FI'$. Ta được $I'\equiv I$.
Do đó tập hợp điểm $I$ khi $EF$ quay xung quanh $O$ là ảnh của $AD$ qua phép đối xứng trục $AC$. Ảnh đó chính là đường thẳng $AB$.

b) Vì $\widehat{IHE}=\widehat{IAE}=90^0$ nên tứ giác $AIHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $IE$. Ta có $\widehat{AHI}=\widehat{AEI}=45^0$.
Tương tự $\widehat{BHI}=45^0$ suy ra $\widehat{AHB}=90^0$ hay $H$ thuộc đường tròn đường kính $AB$. Vì $HI$ là phân giác của $\widehat{AHB}$ nên $HI$ đi qua trung điểm cung $AB$ của đường tròn đường kính $AB$.