|
|
bình luận
|
GTNN
bạn có muốn sửa đề bài k???
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tìm số x thỏa mãn
|
|
|
|
Ta có:
$C_i^3.C_{2012}^i=\frac{i!}{3!(i-3)!}.\frac{2012!}{i!.(2012-i)!}=\frac{2012!}{3!}.\frac{1}{(i-3)!.(2012-i)!}=C_{2012}^3.C_{2009}^{i-3}$.
Do đó:
$\sum_{i=3}^{2012}{C_i^3.C_{2012}^i}=C_{2012}^3\sum_{i=0}^{2009}{C_{2009}^i}=C_{2012}^3.2^{2009}$.
Giả thiết tương đương với:
$C_{2012}^3.2^{2009}=2011.2^{2011}.x$
$\Leftrightarrow x=168505$.
|
|
|
|
sửa đổi
|
logarit
|
|
|
|
a) ĐK: $x>-1,x\neq 0,4$.Ta có:$\frac{\log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}}{x^2-3x+4}>0$$\Leftrightarrow \left[ \log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}\right](x+1)(x-4)>0$$\Leftrightarrow (2\log_23-3)(x+1)(x-4)\log_3(x+1)>0$$\Leftrightarrow x\in (-1,1)\bigcup (4,+\infty)$.
a) ĐK: $x>-1$.Ta có:$\frac{\log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}}{x^2-3x+4}>0$$\Leftrightarrow \left[ \log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}\right](x+1)(x-4)>0$$\Leftrightarrow (2\log_23-3)(x+1)(x-4)\log_3(x+1)>0$$\Leftrightarrow x\in (-1,0)\bigcup (4,+\infty)$.
|
|
|
|
giải đáp
|
logarit
|
|
|
|
ĐK: $x>0$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$3-(x+1)\log_2x\geq 0$
Đặt $\log_2x=t$ thì bất phương trình trở thành:
$3-t(2^t+1)\geq 0$
$t(2^t+1)\leq 3$
Xét hàm số $f(t)=t(2^t+1)$ trên $R$.
Nếu $t<0$ thì $f(t)<0<3$.
Nếu $t\geq 0$ thì $f'(t)=2^t+1+t.2^t\ln 2>0$ nên $f(t)$ đồng biến.
Ta có $f(1)=3$ nên $f(t)\leq 3\Leftrightarrow t\leq 1$.
Tóm lại BPT $f(t)\leq 3$ có nghiệm $t\leq 1$.
Vậy BPT đã cho có nghiệm $x\in (0,2]$.
|
|
|
|
giải đáp
|
logarit
|
|
|
|
a) ĐK: $x>-1$.
Ta có:
$\frac{\log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}}{x^2-3x+4}>0$
$\Leftrightarrow \left[ \log_2{(x+1)^2}-\log_3{(x+1)^3}\right](x+1)(x-4)>0$
$\Leftrightarrow (2\log_23-3)(x+1)(x-4)\log_3(x+1)>0$
$\Leftrightarrow x\in (-1,0)\bigcup (4,+\infty)$.
|
|
|
|
sửa đổi
|
Phân tích đa thức thành nhân tử
|
|
|
|
Xét đa thức $P(a)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$.Dễ thấy $P(b)=P(c)=0$ nên $P(a)$ có nhân tử là $a-b$ và $a-c$.Khi đó: $P(a)=k(a-b)(a-c)$.Hệ số của $a^2$ trong khai triển của $P(a)$ là $k=(b-c)$.Vậy $P(a)=(b-c)(a-b)(a-c)$.
a) Xét đa thức $P(a)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$.Dễ thấy $P(b)=P(c)=0$ nên $P(a)$ có nhân tử là $a-b$ và $a-c$.Khi đó: $P(a)=k(a-b)(a-c)$.Hệ số của $a^2$ trong khai triển của $P(a)$ là $k=b-c$.Vậy $P(a)=(b-c)(a-b)(a-c)$.b) Ta có:$x^3-19x-30=x^3-25x+6x-30=x(x^2-5)+6(x-5)$$=(x-5)[x(x+5)+6]=(x-5)(x^2+3x+2x+6)=(x-5)(x+3)(x+2)$
|
|
|
|
giải đáp
|
Phân tích đa thức thành nhân tử
|
|
|
|
a) Xét đa thức $P(a)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$.
Dễ thấy $P(b)=P(c)=0$ nên $P(a)$ có nhân tử là $a-b$ và $a-c$.
Khi đó: $P(a)=k(a-b)(a-c)$.
Hệ số của $a^2$ trong khai triển của $P(a)$ là $k=b-c$.
Vậy $P(a)=(b-c)(a-b)(a-c)$.
b) Ta có:
$x^3-19x-30=x^3-25x+6x-30=x(x^2-5)+6(x-5)$
$=(x-5)[x(x+5)+6]=(x-5)(x^2+3x+2x+6)=(x-5)(x+3)(x+2)$
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải bằng phương pháp đánh giá
|
|
|
|
ĐK: $-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$.Ta có:$\left( \sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\right)^2\geq (1+2x)+(3-2x)=4$.Từ đó suy ra: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\geq 2$.Mặt khác: $(2x-1)^2\leq 4,\forall -1\leq x\in \left[ -\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$.Ta được: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\geq 2\geq \frac{(2x-1)^2}{2}$.Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$.Vậy PT đã cho có 2 nghiệm kể trên.
ĐK: $-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$.Ta có:$\left( \sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\right)^2\geq (1+2x)+(3-2x)=4$.Từ đó suy ra: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\geq 2$.Mặt khác: $(2x-1)^2\leq 4,\forall x\in \left[ -\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$.Ta được: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\geq 2\geq \frac{(2x-1)^2}{2}$.Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$.Vậy PT đã cho có 2 nghiệm kể trên.
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải bằng phương pháp đánh giá
|
|
|
|
ĐK: $-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$.
Ta có:
$\left( \sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\right)^2\geq (1+2x)+(3-2x)=4$.
Từ đó suy ra: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\geq 2$.
Mặt khác: $(2x-1)^2\leq 4,\forall x\in \left[ -\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$.
Ta được: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3-2x}\geq 2\geq \frac{(2x-1)^2}{2}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$.
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm kể trên.
|
|
|
|
sửa đổi
|
tìm
|
|
|
|
Theo khai triển nhị thức Newton:$(1+\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^ix^{\frac{i}{2}}}$.$(1-\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^i(-1)^ix^{\frac{i}{2}}}$.Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta có:$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}=2\left( \sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i}}\right)$.Nhân cả hai vế với $x$:$x\left[ (1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}\right]=2\left( \sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i+1}}\right)$Đạo hàm hai vế:$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}+n\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2n-1}-n\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2n-1}=2\left( \sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}x^i}\right)$.Thay $x=1$ và đẳng thức trên:$2^{2n}+n2^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}}$Từ giả thiết suy ra: $2^{2n-2}{n+2}=1024(n+2)$ hay $n=6$.
Theo khai triển nhị thức Newton:$(1+\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^ix^{\frac{i}{2}}}$.$(1-\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^i(-1)^ix^{\frac{i}{2}}}$.Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta có:$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}=2\sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i}}$.Nhân cả hai vế với $x$:$x\left[ (1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}\right]=2\sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i+1}}$.Đạo hàm hai vế:$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}+n\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2n-1}-n\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}x^i}$.Thay $x=1$ và đẳng thức trên:$2^{2n}+n2^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}}$Từ giả thiết suy ra: $2^{2n-2}(n+2)=1024(n+2)$ hay $n=6$.
|
|
|
|
giải đáp
|
tìm
|
|
|
|
Theo khai triển nhị thức Newton:
$(1+\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^ix^{\frac{i}{2}}}$.
$(1-\sqrt{x})^{2n}=\sum_{i=0}^{2n}{C_{2n}^i(-1)^ix^{\frac{i}{2}}}$.
Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta có:
$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}=2\sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i}}$.
Nhân cả hai vế với $x$:
$x\left[ (1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}\right]=2\sum_{i=0}^n{C_{2n}^{2i}x^{i+1}}$.
Đạo hàm hai vế:
$(1+\sqrt{x})^{2n}+(1-\sqrt{x})^{2n}+n\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2n-1}-n\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}x^i}$.
Thay $x=1$ và đẳng thức trên:
$2^{2n}+n2^{2n-1}=2\sum_{i=0}^n{(i+1)C_{2n}^{2i}}$
Từ giả thiết suy ra: $2^{2n-2}(n+2)=1024(n+2)$ hay $n=6$.
|
|
|
|
giải đáp
|
giải phương trình
|
|
|
|
Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình.
Đặt $\frac{1}{x}=2\sqrt{2}u$ thì phương trình trở thành:
$4u^3+3u=\frac{\sqrt{2}}{8}$
Giả sử $a$ là nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}\left( a-\frac{1}{a}\right)=\frac{\sqrt{2}}{8}$ thì phương trình trên có nghiệm $u=\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{a}-\frac{1}{\sqrt[3]{a}}\right)$.
Vì hàm số $f(u)=4u^3+3u$ đồng biến trên $R$ nên phương trình có nghiệm duy nhất. Từ đó giải ra $x$.
|
|
|
|
giải đáp
|
tam giác
|
|
|
|
Ta có:
$(1-\cos A)(1-\cos B)=\left( 1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \left( 1-\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)$
$=\frac{[a^2-(b-c)^2][b^2-(c-a)^2]}{4abc^2}$
ĐK bài toán tương đương với:
$[a^2-(b-c)^2][b^2-(c-a)^2]=a^2b^2$
Từ đó suy ra $b-c=c-a=0$ hay $\Delta ABC$ đều.
|
|