Đặt $a_k=2013^k$
=> $a_1=2013^1$
$a_2= 2013^2$
$ ...................$
$a_{108}=2013^{108}-1$
Xét $108$ số $a_1;a_2;...a_{108}$ chia cho $107$, có $107$ số dư
mà 107 có 107 số dư :$0;1;2;...;106$
Theo nguyên lý Điríchlê, tồn tại $2$ trong $108$ số đó đồng dư khi chia $107$
Giả sử là $a_m$ và $a_n$ $(1\leq n<m\leq108)$
=> $a_m-a_n$ chia hết cho $107$
=> $2013^m-2013^n$ chia hết cho $107$
=> $2013^n(2013^{m-n}-1)$ chia hết cho $107$
Vì $(2013;107)=1$
=>$2013^{m-n}-1$ chia hết cho $107$
vậy, tồn tại số $2013^k-1$ chia hết cho $107$ $(k=m-n)$