Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm a) $x (x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b) =0$ b) $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0$ c) $x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2) =0 $ d) $3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca =0 $Giải: a) $x (x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b) =0$ $\Leftrightarrow (x+1)(x-a)(x-b)=0$$\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} x=-1\\x=a\\ x=b \end{array} \right.$ b) $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0$$\Leftrightarrow 3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca =0$ $\Delta '=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$Suy ra PT (b) luôn có nghiệm. c) $x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2) =0 $ $\Delta '=(a+b)^2+4.2(a^2-ab+b^2)=9a^2-6ab+9b^2=8a^2+(a-3b)^2\geq 0$Suy ra PT (c) luôn có nghiệm. Câu (d) tương tự câu (b)

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm a) $x (x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b) =0$ b) $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0$ c) $x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2) =0 $ d) $3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca =0 $Giải: a) $x (x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b) =0$ $\Leftrightarrow 3x^2-2(a+b)x+ab=0$$\Delta '=(a+b)^2-3ab=a^2-ab+b^2=\frac{(a-b)^2}2+\frac{a^2+b^2}2\geq 0$suy ra PT luôn có nghiệm b) $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) =0$$\Leftrightarrow 3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca =0$ $\Delta '=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$Suy ra PT (b) luôn có nghiệm. c) $x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2) =0 $ $\Delta '=(a+b)^2+4.2(a^2-ab+b^2)=9a^2-6ab+9b^2=8a^2+(a-3b)^2\geq 0$Suy ra PT (c) luôn có nghiệm. Câu (d) tương tự câu (b)