phương trinh

\frac{2x^{3}+x^{2}+5x-10}{x^{2}-4x+7}=x\sqrt{3x-1}

Phương trình bậc hai

phương trinh

$\frac{2x^{3}+x^{2}+5x-10}{x^{2}-4x+7}=x\sqrt{3x-1}$

Phương trình bậc hai

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**)Giả sử $a\ge b$ .Đặt $a=xb(x \ge 1)$(**)$\Leftrightarrow ((x^2+x+1)(x+1))^2 \ge 36x^3\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+6x^3+19x^2+6x+1) \ge0$ (luôn đúng)Vậy $k=8$là giá trị cần tìm

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**).Đặt $a=xb$(**)$\Leftrightarrow ((x^2+x+1)(x+1))^2 \ge 36x^3\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+6x^3+19x^2+6x+1) \ge0$ (luôn đúng)Vậy $k=8$là giá trị cần tìm

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3+b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**)Giả sử $a\ge b$ .Đặt $a=xb(x \ge 1)$(**)$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x+1) \ge 6\Leftrightarrow (x-1)(x^2+3x+5) \ge0$ (luôn đúng)Vậy $k=8$là giá trị cần tìm

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$(*)Đk cần : cho $a=b$ thì $VT=36\Leftrightarrow k\le8$Đk đủ, ta sẽ cm $k=8$ là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$(**)Giả sử $a\ge b$ .Đặt $a=xb(x \ge 1)$(**)$\Leftrightarrow ((x^2+x+1)(x+1))^2 \ge 36x^3\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+6x^3+19x^2+6x+1) \ge0$ (luôn đúng)Vậy $k=8$là giá trị cần tìm