Có $(x+7y)+5(6x+11y)=31(x+2y)$ chia hết cho 31mà $5(6x+11y)$ chia hết cho 31$\Rightarrow x+7y $ chia hết cho 31

Có $(x+7y)+5(6x+11y)=31(x+2y)$ chia hết cho 31mà $5(6x+11y)$ chia hết cho 31Điều này xảy ra $\Leftrightarrow x+7y $ chia hết cho 31

ta có$\sqrt{x^{3}+1} \leq \frac{x^{2}+2}{2}$ $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}$$=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$TT $\Rightarrow đpcm$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$

Ta thấy 3 số $a;b;c$ k thể đồng thời bằng 0TH1 có ít nhất 1 số bằng 0, giả sử là c$\Rightarrow VT=\sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}+\sqrt\frac{b^3}{a^3+b^3}$Vì $\sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}\le1\Rightarrow \sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}\ge\frac{a^3}{a^3+b^3}$Tương tự cộng lại $\Rightarrow VT\ge1$Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số >0TH2: $a;b;c>0$ta có$\sqrt{x^{3}+1} \leq \frac{x^{2}+2}{2}$ $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}$$=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$TT $\Rightarrow đpcm$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$

a) $2\sqrt{x(1-x})\le x+1-x=1$$\Rightarrow \sqrt{x(1-x)}\le\frac12$Dấu bằng khi $x=\frac12$

a) $1=x+(1-x)\ge2\sqrt{x(1-x)}$ (áp dụng BĐT Cauchy)$\Rightarrow \sqrt{x(1-x)}\le\frac12$Dấu bằng khi $x=\frac12$

Từ giả thiết ta suy ra $\begin{cases}4\le a<9 \\ 5\le b <8\\6\le c\le7 \end{cases}$$\Rightarrow (a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\le0$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13(a+b+c)+118\le0$$\Leftrightarrow a+b+c\ge16$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=4;b=5;c=7$

Từ giả thiết ta suy ra $\begin{cases}4\le a<9 \\ 5\le b <8\\6\le c\le7 \end{cases}$$\Rightarrow (a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\le0$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13(a+b+c)+118\le0$$\Leftrightarrow a+b+c\ge16$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=4;b=5;c=7$

Từ giả thiết ta suy ra $\begin{cases}4\le a<9 \\ 5\le b <8\\6\le c\le7 \end{cases}$$\Rightarrow (a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\le0$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13(a+b+c)+118\le0$$\Leftrightarrow a+b+c\ge16$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=4;b=5;c=7$

Từ giả thiết ta suy ra $\begin{cases}4\le a<9 \\ 5\le b <8\\6\le c\le7 \end{cases}$$\Rightarrow (a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\le0$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13(a+b+c)+118\le0$$\Leftrightarrow a+b+c\ge16$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=4;b=5;c=7$

(2)

Cho 3 số thực dương $x;y;z$Tìm $\min P=27xa^2+270y+2z^3+324\sum \frac1{xy}$

Bất đẳng thức

(2)

Cho 3 số thực dương $x;y;z$Tìm $\min P=27x^2+270y+2z^3+324\sum \frac1{xy}$

Bất đẳng thức

(2)

Cho 3 số thực dương $x;y;z$Tìm $\min P=27a^2+270b+2c^3+324\sum \frac1{ab}$

Bất đẳng thức

(2)

Cho 3 số thực dương $x;y;z$Tìm $\min P=27xa^2+270y+2z^3+324\sum \frac1{xy}$

Bất đẳng thức

$(1) \Leftrightarrow\sqrt{(x+3y-2)^2+4}+(x+3y-2)=\sqrt{(x-y)^2+4}-(x-y)$Đặt $u=x+3y-2;v=x-y$$\Leftrightarrow \sqrt{u^2+4}+u=\sqrt{v^2+4}-v$$\Leftrightarrow (u+v)(\frac{u+v}{\sqrt{u^2+v^2}}-1)=0$$\Leftrightarrow (u-v)(u+v-\sqrt{u^2+v^2})=0$$\left[ {\begin{matrix}u=v\\ \begin{cases}u=0 \\ v\ge0\end{cases} \\\begin{cases}u\ge0 \\ v=0 \end{cases}\end{matrix}} \right.$Thay dần vào :v

$(1) \Leftrightarrow\sqrt{(x+3y-2)^2+4}+(x+3y-2)=\sqrt{(x-y)^2+4}-(x-y)$Đặt $u=x+3y-2;v=x-y$$\Leftrightarrow \sqrt{u^2+4}+u=\sqrt{v^2+4}-v$$\Leftrightarrow (u+v)(\frac{u+v}{\sqrt{u^2+v^2}}-1)=0$$\Leftrightarrow (u+v)(u+v-\sqrt{u^2+v^2})=0$$\left[ {\begin{matrix}u=-v\\ \begin{cases}u=0 \\ v\ge0\end{cases} \\\begin{cases}u\ge0 \\ v=0 \end{cases}\end{matrix}} \right.$Thay dần vào :v

$(1) \Leftrightarrow\sqrt{(x+3y-2)^2+4}+(x+3y-2)=\sqrt{(x-y)^2+4}-(x-y)$Đặt $u=x+3y-2;v=x-y$$\Leftrightarrow \sqrt{u^2+4}+u=\sqrt{v^2+4}-v$$\Leftrightarrow (u+v)(\frac{u+v}{\sqrt{u^2+v^2}}+-)=0$$\Leftrightarrow (u-v)(u+v-\sqrt{u^2+v^2})=0$$\left[ {\begin{matrix}u=v\\ \begin{cases}u=0 \\ v\ge0\end{cases} \\\begin{cases}u\ge0 \\ v=0 \end{cases}\end{matrix}} \right.$Thay dần vào :v

$(1) \Leftrightarrow\sqrt{(x+3y-2)^2+4}+(x+3y-2)=\sqrt{(x-y)^2+4}-(x-y)$Đặt $u=x+3y-2;v=x-y$$\Leftrightarrow \sqrt{u^2+4}+u=\sqrt{v^2+4}-v$$\Leftrightarrow (u+v)(\frac{u+v}{\sqrt{u^2+v^2}}-1)=0$$\Leftrightarrow (u-v)(u+v-\sqrt{u^2+v^2})=0$$\left[ {\begin{matrix}u=v\\ \begin{cases}u=0 \\ v\ge0\end{cases} \\\begin{cases}u\ge0 \\ v=0 \end{cases}\end{matrix}} \right.$Thay dần vào :v

giải hộ pt này vs

(x cộng 1) mũ 4 cộng (x cộng 5) mũ 4 bằng2

Phương trình mũ

giải hộ pt này vs

$(x+1)^4+(x+5)^4=2$

Phương trình mũ

ta có $ (a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$TT suy ra ta cần CM$\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12$$\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$$\Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geq a+b+c$mà $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$như vậy ta cân CM $ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$có $ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}$

ta có $ (a+b+2\sqrt{a+c})^3>(a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$TT suy ra ta cần CM$\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12$$\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$$\Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geq a+b+c$mà $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$như vậy ta cân CM $ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$có $ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$Không xảy ra dấu bằng

35.giúp với ạ

giải pt:8sinxcosxcos2xcos4x=0

Phương trình lượng giác cơ bản

35.giúp với ạ

giải pt:$8\sin x.\cos x.\cos2x.\cos4x=0$

Phương trình lượng giác cơ bản

$P^2=\frac94x^2+\frac{16}9y^2+\frac{25}{36}z^2+4xy+\frac{20}9yz+\frac52zx$$=(\frac94x^2+\frac14z^2)+(\frac{16}9y^2+\frac49z^2)+4xy+\frac{20}9yz+\frac52zx$$\ge\frac32xy+\frac{16}9yz+4xy+\frac{20}9yz+\frac52zx$$=4(xy+yz+zx)=4$Dấu bằng xảy ra $\begin{cases}z=2y=6x \\ xy+yz+zx=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac1{3\sqrt3} \\ y=\frac1{\sqrt3}\\z=\frac2{\sqrt3} \end{cases}$

$P^2=\frac94x^2+\frac{16}9y^2+\frac{25}{36}z^2+4xy+\frac{20}9yz+\frac52zx$$=(\frac94x^2+\frac14z^2)+(\frac{16}9y^2+\frac49z^2)+4xy+\frac{20}9yz+\frac52zx$$\ge\frac32xy+\frac{16}9yz+4xy+\frac{20}9yz+\frac52zx$$=4(xy+yz+zx)=4$Dấu bằng xảy ra $\begin{cases}z=2y=3x \\ xy+yz+zx=1 \end{cases}$

$pt \Leftrightarrow (x^2+2)(x^2+k^2-4k+3)=2k+1$$\Leftrightarrow (x^2+2).x^2+(x^2+2)(k^2-4k+3)=2k+1$$\Leftrightarrow x^4+x^2(k^2-4k+5)+(2k^2-10k+5)=0$$\text{Do }k^2-4k+5>0\text{ nên pt có nghiệm}\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta \ge0 \\ 2k^2-10k+5 \le0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}k^4+18k^2+5 \ge 8k^3 (\text{đúng theo cosi)}\\ \dfrac{5-\sqrt{15}}{2} \le k \le \dfrac{5+\sqrt{15}}{2} \end{cases}$$Leftrightarrow k\in \left[ \frac{5-\sqrt{15}}{2};\frac{5+\sqrt{15}}{2}\right]$

$pt \Leftrightarrow (x^2+2)(x^2+k^2-4k+3)=2k+1$$\Leftrightarrow (x^2+2).x^2+(x^2+2)(k^2-4k+3)=2k+1$$\Leftrightarrow x^4+x^2(k^2-4k+5)+(2k^2-10k+5)=0$$\text{Do }k^2-4k+5>0\text{ nên pt có nghiệm}\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta \ge0 \\ 2k^2-10k+5 \le0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}k^4+18k^2+5 \ge 8k^3 (\text{đúng theo cosi)}\\ \dfrac{5-\sqrt{15}}{2} \le k \le \dfrac{5+\sqrt{15}}{2} \end{cases}$$\Leftrightarrow k\in \left[ \frac{5-\sqrt{15}}{2};\frac{5+\sqrt{15}}{2}\right]$

BĐT Cô-si

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: a+b=\frac{2}{3}.Chứng minh rằng: \frac{1}{\sqrt{a+2b}+\frac{1}{\sqrt{b+2a}

Chứng minh đẳng thức

BĐT Cô-si

Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: $a+b=\frac{2}{3}$.Chứng minh rằng: $ \frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2a}}\ge2$

Chứng minh đẳng thức