a) Phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình $x-y=0$ nên vtpt là $\overrightarrow{n}=(1;-1)$

$d$ song song với phân giác trên nên nhận $\overrightarrow{n}=(1;-1)$ làm vtpt. Khi đó phương trình $d$ là:

 $(x+3)-(y-1)=0$ hay $x-y+4=0$

b) $d$ qua $M(-3;1)$ và $N(-2;3)$ nên nhận $\overrightarrow{MN}=(1;2)$ làm vtcp. Do đó vtpt là $\overrightarrow{n}=(2;-1)$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là:

$2(x+3)-(y-1)=0$ hay $2x-y+7=0$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$M(x;y)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=(x-2;y+1)$; $\overrightarrow{BM}=(x;y-3)$ và $\overrightarrow{CM}=(x-4;y-2)$

 $2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{BM}-4\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}2(x-2)+3x-4(x-4)=0 \\ 2(y+1)+3(y-3)-4(y-2)=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x+12=0 \\ y+1=0\end{cases}\Rightarrow M(-12;-1)$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

2. Với $M$ bất kỳ ta luôn có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$
$\Rightarrow \alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\alpha\overrightarrow{MI}+\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{MI}+\beta\overrightarrow{IB}$
$=(\alpha\overrightarrow{MI}+\beta\overrightarrow{MI})+(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB})$
$=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0}=(\alpha +\beta )\overrightarrow{MI}$

1. Giả sử tồn tại điểm $M$ khác $I$ sao cho $\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$
Khi đó ta có: $(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB})-(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \alpha (\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{IA})+\beta (\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{IB})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \alpha\overrightarrow{MI}+\beta\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}$ do $\alpha +\beta \neq 0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}$ hay $M$ trùng với $I$. Vậy điểm $I$ như trên là duy nhất.