Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

ĐK: $\begin{cases}x>0 \\ x\neq 1\end{cases}$

Để ý rằng $\log_{x}\sqrt{7x}=\dfrac{\log_{7}\sqrt{7x}}{\log_{7}x}=\dfrac{1+\log_{7}x}{2\log_{7}x}$

Đặt $t=\log_{7}x$ ta được: $\sqrt{\dfrac{1+t}{2t}}.t\leq -1$

$\Rightarrow \dfrac{1+t}{2t}.t^{2}\geq 1\Leftrightarrow (1+t)t\geq 2\Leftrightarrow t^{2}+t-2\geq 0$

Giải bất phương trình này ta được: $t\geq 2$ hoặc $t\leq -1$

Khi $t\geq 2$ thì $\sqrt{\dfrac{1+t}{2t}}.t\geq 0$ nên trường hợp này bị loại.

$t\leq -1\Leftrightarrow \log_{7}x\leq -1\Leftrightarrow x\leq \dfrac{1}{7}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $0<x\leq \dfrac{1}{7}$

ĐK: $x-1>0\Leftrightarrow x>1$

TH1: $x-1<1\Leftrightarrow  x<2$. Khi đó $(1)\Leftrightarrow \log_{2}4(x-1).\log_{2} (x-1)\geq \log_{2} 8(x-1)^{3}$

$\Leftrightarrow (\log_{2}(x-1)+\log_{2}4)\log_{2} (x-1)\geq 3(\log_{2} (x-1)+\log_{2} 2)$

$\Leftrightarrow (\log_{2}(x-1)+2)\log_{2}(x-1)-3(\log_{2}(x-1)+1)\geq 0$

Đặt $\log_{2}(x-1)=t$ bất phương trình trở thành:

$(t+2)t-3(t+1)\geq 0\Leftrightarrow t^{2}-t-3\geq 0$ Suy ra $t\geq \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Khi đó $\log_{2}(x-1)\geq \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow x-1\geq 2^{\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$. Mâu thuẫn với điều kiện $x<2$ nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm

TH2: $x-1>1\Rightarrow$ bất phương trình $\Leftrightarrow \log_{2}4(x-1).\log_{2} (x-1)\geq \log_{2} 8(x-1)^{3}$

Tương tự như TH1, giải bpt này ta được $2<x\le 2^{\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(-5;-10)$ làm vtcp nên vtpt là $\overrightarrow{n_{AB}}=(2;-1)$. Từ đó $AB$ có phương trình $2x-y+3=0$

Đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow{AC}=(3;-6)$ làm vtcp nên vtpt là $\overrightarrow{n_{AC}}=(2;1)$. Từ đó $AC$ có phương trình $2x+y-7=0$

Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow{BC}=(8;4)$ làm vtcp nên vtpt là $\overrightarrow{n_{BC}}=(1;-2)$. Từ đó đường thẳng $BC$có phương trình $x-2y-6=0$

Đường phân giác góc $A$ gồm các điểm cách đều $AB$ và $AC$ nên có phương trình là $\dfrac{|2x-y+3|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|2x+y-7|}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=1 \\ \\ y=5\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ chân đường phân giác là giao điểm của đường phân giác và $BC$ nên ta có các giao điểm có tọa độ: $D\left( 1;-\dfrac{5}{2}\right)$ và $E\left( 16;5\right)$

Bài 1. $f'(x)=x^{2}-mx+2m$. Để khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số có độ dài bằng $3$ thì $f'(x)=0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho $|x_{1}-x_{2}|=3$.

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta =m^{2}-8m>0\quad (1) \\ |x_{1}-x_{2}|=3\quad (2)\end{cases}$

$(2)\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}=9\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=9$

$\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9\quad (3)$

Áp dụng Vi-et ta có: $\begin{cases}x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1}x_{2}=2m\end{cases}$

Thế vào $(3)$ ta được $m^{2}-8m=9\Leftrightarrow m^{2}-8m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m=-1 \\ \\ m=9\end{matrix}\right.$

Cả hai giá trị $m$ trên đều thỏa mãn $(1)$. Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m=-1$ hoặc $m=9$

Bài 2. $f'(x)=x^{2}+2(m+1)x-(m+1)$. Để hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ thì $f'(x)=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}\leq x_{2}\leq 1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta '=(m+1)^{2}+(m+1)\geq 0 \\ \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=-(m+1)<1 \\ f'(1)=m+1\geq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow m+1\geq 0\Leftrightarrow m\geq -1$

1. $2$ con Át:

Rút được $2$ con Át trong $4$ con Át có $C_{4}^{2}$ cách.
 
Rút được $3$ con còn lại trong $48$ con (không có Át) có $C_{48}^{3}$ cách.

Áp dụng quy tắc nhân suy ra số cách rút: $C_{48}^{3}.C_{4}^{2}$

2. Nhiều nhất $2$ con Át:

TH1: Không có Át có $C_{48}^{5}$ cách rút.

TH2: Có $1$ con Át có $4.C_{48}^{4}$ cách rút.

TH3: Có $2$ con Át có $C_{48}^{3}.C_{4}^{2}$ cách rút.

Áp dụng quy tắc cộng suy ra số cách rút: $C_{48}^{5}+4.C_{48}^{4}+C_{48}^{3}.C_{4}^{2}$

3. Ít nhất $1$ con Át:

Số cách rút $5$ con bất kỳ: $C_{52}^{5}$

Số cách rút không có con Át nào: $C_{48}^{5}$

Suy ra số cách rút có ít nhất một con Át: $C_{52}^{5}-C_{48}^{5}$

4. Có đúng $1$ con Át và $1$ con K:

Số cách rút $1$ con Át: $C_{4}^{1}$

Số cách rút $1$ con K: $C_{4}^{1}$

Số cách rút $3$ con còn lại không phải là Át và K: $C_{44}^{3}$

Áp dụng quy tắc nhân suy ra số cách rút: $C_{4}^{1}.C_{4}^{1}.C_{44}^{3}$

Gọi số công nhân của tổ đó là $x$ ($x\in N$). Khi đó số ngày để hoàn thành công việc là $\dfrac{180}{x}$.

Khi tăng thêm $15$ công nhân thì số công nhân sẽ là $x+15$. Khi đó số ngày để hoàn thành công việc là $\dfrac{180}{15}$.

Độ lệch ngày làm việc là $2$ ngày nên $\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+15}=2$

$\Leftrightarrow x^{2}+15x-1350=0$. Giải phương trình này được $x=30$ hoặc $x=-45$. Do số người $x>0$ nên loại nghiệm $-45$. Vậy tổ công nhân có $30$ người.

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\left| {x-1} \right|+\left| {y+1} \right|= 1\quad (1)\\ \left| {x-1} \right|= 3y-5\quad (2)\end{cases}$

Từ $(1)\Rightarrow |x-1|=1-|y+1|$. Thế vào $(2)$ ta được $1-|y+1|=3y-5\Leftrightarrow |y+1|=6-3y\quad (3)$

Giải $(3)$ ta được $y=\dfrac{5}{4}$. Thế vào $(1)$ ta có $|x-1|=1-\dfrac{9}{4}=-\dfrac{5}{4}\Rightarrow$ vô nghiệm $x$. Vậy hệ đã cho là vô nghiệm

Hi vọng viết cụ thể thế này bạn sẽ hiểu:

Ta có: $y=2\sin x+\cos x=\sqrt{5}(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cos x)$

Do $\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}=1$ nên tồn tại $\alpha$ sao cho $\begin{cases}\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\ \cos \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{cases}$

Khi đó $y=\sqrt{5}(\sin x\cos \alpha +\cos x\sin\alpha )=\sqrt{5}\sin (x+\alpha )$

Mặt khác $-1\leq \sin u\leq 1$ với mọi $u\in R$ nên $-\sqrt{5}\leq\sqrt{5}\sin (x+\alpha ) \leq \sqrt{5}$ với mọi $x\in R$. Do đó $\max y=\sqrt{5}$ và $\min y=-\sqrt{5}$

Giả sử $3x+2y$ chia hết cho $17$ thì $10(3x+2y)=30x+20y=(30x+3y)+17y=3(10x+y)+17y$ chia hết cho $17$. Do đó $3(10x+y)$ chia hết cho $17$ mà $3$ không chia hết cho $17$ nên $10x+y$ chia hết cho $17$

Nếu không nhầm thì bài này mình đã giải rồi. Lời giải đây:

Giả sử $a+4b$ chi hết cho 13 thì $10(a+4b)=10a+b+39b$ chia hết cho $13$. Do $39b$ chia hết cho $13$ nên $10a+b$ chia hết cho $13$

Ngược lại $10a+b$ chia hết cho $13$ thì $10a+b+39b=10(a+4b)$ cũng chia hết cho $13$. Do $10$ không  chia hết cho $13$ nên $a+4b$ phải chia hết cho $13$

1. $f(x+1)=(x+1)^{2}+2(x+1)-8=x^{2}+4x-5$

$f(x+2)=(x+2)^{2}+2(x+2)-8=x^{2}+6x$

$\Rightarrow A= f(x)+f(x+1)-f(x+2)=x^{2}-13$

2. Khi $x$ chẵn thì $x=2k$ với $k\in Z$. Khi đó:

$B=x(x+2)f(x)=2k(2k+2)[(2k)^{2}+2(2k)-8]=4k(k+1)(4k^{2}+4k-8)$

$B=16(k+1)(k^{2}+k-2)=16k(k+1)(k-1)(k+2)$

Do $k(k-1)(k+1)(k+2)$ là tích $4$ số nguyên liên tiếp nên tích này luôn chia hết cho $24$. Do đó có thể đặt $k(k-1)(k+1)(k+2)=24m$ với $m$ là một số nguyên.

Khi đó $B=16.12m=384m$. Vậy $B$ chia hết cho $384$

3. Do $k(k-1)(k+1)(k+2)\geq 0$ với mọi $k$ nên $B\geq 0$. Khi đó $B$ nhỏ nhất là $B=0$ khi  một trong $4$ giá trị $k$; $k-1$; $k+1$ và $k+2$ bằng $0$. Khi đó ta có $x=0$; $x=2$; $x=-2$ hoặc $x=-4$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết