Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=(1-m)x^{4}-mx^{2}+2m-1$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Giải

Đặt $t=x^{2}$ thì đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1-m)x^{4}-2mx^{2}+2m-1=0$ có bốn nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (1-m)t^{2}-2mt+2m-1=0$ có hai nghiệm dương.

$\Leftrightarrow \begin{cases}1-m\neq 0 \\ \Delta^{'}=m^{2}-(1-m)(2m-1)>0 \\ P=(1-m)(2m-1)>0 \\ S=\dfrac{2m}{1-m}>0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}<m<1$

a. Gọi $t_{1}$ và $t_{2}$ là thời gian người thứ nhất và người thứ hai đi đến lúc gặp nhau. Khi đó $t_{1}=t_{2}+\dfrac{3}{4}\qquad (1)$.

Mặt khác quãng đường hai người đi là bằng nhau nên $20t_{1}=50t_{2}$ hay $2t_{1}=5t_{2}\qquad (2)$

Thế $(1)$ vào $(2)$ ta suy ra $t_{2}=\dfrac{7}{6}$ giờ =$1$ giờ $10$ phút.

b. Điểm gặp nhau cách $A$ một khoảng cách $S=50t_{2}=\dfrac{175}{3}$km

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

4. Ta có: $1-\dfrac{1}{k^{2}} =\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}$. Khi đó:

$S_{n}=\left( 1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) \left( 1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) ... \left( 1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$

$=\dfrac{1.3}{2^{2}}.\dfrac{2.4}{3^{2}}.\dfrac{3.5}{4^{2}}.\dfrac{4.6}{5^{2}}.....\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}$

$=\dfrac{n+1}{4n}$

 $\Rightarrow \lim S_{n}=\lim\dfrac{n+1}{4n}=\lim\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{4}=\dfrac{1}{4}$ vì $\lim\dfrac{1}{n}=0$

3. $S_{n}=1-2+3-4+...+(2n-1)-2n=(1-2)+(3-4)+...+[(2n-1)-2n]=-n$

 $\lim\dfrac{S_{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}=\lim\dfrac{-n}{\sqrt{n^{2}+1}}$

$=\lim\dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}=-1$ vì $\lim\dfrac{1}{n^{2}}=0$

2. Ta có:

$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ với mọi $k$ là số tự nhiên khác $0$. Khi đó:

 $S_{n}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}= ... +\dfrac{1}{(n-1)n}$

$=\left( 1-\dfrac{1}{2}\right) +\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +...+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)$

$=1-\dfrac{1}{n}$. Khi đó $\lim S_{n}=1$ vì $\lim\dfrac{1}{n}=0$

1. Ta có:

 $S_{n+1}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+...+\dfrac{1}{2^{n}}$ là tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_{1}=1$ và $q=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $S_{n+1}=\dfrac{u_{1}(1-q^{n+1})}{1-q}=\dfrac{1.(1-\dfrac{1}{2^{n+1}})}{1-\dfrac{1}{2}}=2-\dfrac{1}{2^{n}}$

$R_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^{2}}+...+\dfrac{1}{3^{n}}$ là tổng $n+1$ số hạng đầu của cấp số nhân có $u_{1}=1$ và $q=\dfrac{1}{3}$. Khi đó $R_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( 3-\dfrac{1}{3^{n}}\right)$

$\Rightarrow \dfrac{S_{n+1}}{R_{n+1}}=\dfrac{2\left( 2-\dfrac{1}{2^{n}}\right)}{3-\dfrac{1}{3^{n}}}$

$\Rightarrow\lim\dfrac{S_{n+1}}{R_{n+1}}=\dfrac{4}{3}$ vì $\lim\dfrac{1}{2^{n}}=\lim\dfrac{1}{3^{n}}=0$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết