ĐK: $x-1>0\Leftrightarrow x>1$

TH1: $x-1<1\Leftrightarrow  x<2$. Khi đó $(1)\Leftrightarrow \log_{2}4(x-1).\log_{2} (x-1)\geq \log_{2} 8(x-1)^{3}$

$\Leftrightarrow (\log_{2}(x-1)+\log_{2}4)\log_{2} (x-1)\geq 3(\log_{2} (x-1)+\log_{2} 2)$

$\Leftrightarrow (\log_{2}(x-1)+2)\log_{2}(x-1)-3(\log_{2}(x-1)+1)\geq 0$

Đặt $\log_{2}(x-1)=t$ bất phương trình trở thành:

$(t+2)t-3(t+1)\geq 0\Leftrightarrow t^{2}-t-3\geq 0$ Suy ra $t\geq \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$

Khi đó $\log_{2}(x-1)\geq \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow x-1\geq 2^{\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$. Mâu thuẫn với điều kiện $x<2$ nên trường hợp này bất phương trình vô nghiệm

TH2: $x-1>1\Rightarrow$ bất phương trình $\Leftrightarrow \log_{2}4(x-1).\log_{2} (x-1)\geq \log_{2} 8(x-1)^{3}$

Tương tự như TH1, giải bpt này ta được $2<x\le 2^{\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(-5;-10)$ làm vtcp nên vtpt là $\overrightarrow{n_{AB}}=(2;-1)$. Từ đó $AB$ có phương trình $2x-y+3=0$

Đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow{AC}=(3;-6)$ làm vtcp nên vtpt là $\overrightarrow{n_{AC}}=(2;1)$. Từ đó $AC$ có phương trình $2x+y-7=0$

Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow{BC}=(8;4)$ làm vtcp nên vtpt là $\overrightarrow{n_{BC}}=(1;-2)$. Từ đó đường thẳng $BC$có phương trình $x-2y-6=0$

Đường phân giác góc $A$ gồm các điểm cách đều $AB$ và $AC$ nên có phương trình là $\dfrac{|2x-y+3|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|2x+y-7|}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=1 \\ \\ y=5\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ chân đường phân giác là giao điểm của đường phân giác và $BC$ nên ta có các giao điểm có tọa độ: $D\left( 1;-\dfrac{5}{2}\right)$ và $E\left( 16;5\right)$

Bài 1. $f'(x)=x^{2}-mx+2m$. Để khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số có độ dài bằng $3$ thì $f'(x)=0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho $|x_{1}-x_{2}|=3$.

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta =m^{2}-8m>0\quad (1) \\ |x_{1}-x_{2}|=3\quad (2)\end{cases}$

$(2)\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}=9\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=9$

$\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9\quad (3)$

Áp dụng Vi-et ta có: $\begin{cases}x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1}x_{2}=2m\end{cases}$

Thế vào $(3)$ ta được $m^{2}-8m=9\Leftrightarrow m^{2}-8m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m=-1 \\ \\ m=9\end{matrix}\right.$

Cả hai giá trị $m$ trên đều thỏa mãn $(1)$. Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m=-1$ hoặc $m=9$

Bài 2. $f'(x)=x^{2}+2(m+1)x-(m+1)$. Để hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$ thì $f'(x)=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}\leq x_{2}\leq 1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta '=(m+1)^{2}+(m+1)\geq 0 \\ \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=-(m+1)<1 \\ f'(1)=m+1\geq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow m+1\geq 0\Leftrightarrow m\geq -1$