Có rất nhiều cách giải, tui xin trình bày một cáchÁp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: $(1+1)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 4\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 2\geq x+y$Ta có: $4\geq (1+1)(x+y)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\Leftrightarrow 2\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$Tiếp tục dùng BĐT trên ta được: $(\sqrt{y}+\sqrt{x})(\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}})\geq (x^2+y^2)^2\Leftrightarrow M\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 2$Vậy$Min_M=2$khi$x=y=1$

Có rất nhiều cách giải, tui xin trình bày một cáchÁp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: $(1+1)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 4\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 2\geq x+y$Chứng minh được $xy\leq 1$suy ra$xy(x+y)\leq 2$Sử dụng BĐT Cauchy, ta được:$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{x^2}{\sqrt{y}}+x^2y\geq 3x^2\\ \frac{y^2}{\sqrt{x}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}+y^2x\geq 3y^2 \end{array} \right. $Suy ra$2M+xy(x+y)\geq 6\Leftrightarrow 2M\geq 6-xy(x+y)\geq 4\Leftrightarrow M\geq 2$Vậy$Min_M=2$khi$x=y=1$

Có rất nhiều cách giải, tui xin bày một cáchÁp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: $(1+1)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 4\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 2\geq x+y$Ta có: $4\geq (1+1)(x+y)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\Leftrightarrow 2\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$Tiếp tục dùng BĐT trên ta được: $(\sqrt{y}+\sqrt{x})(\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}})\geq (x^2+y^2)^2\Leftrightarrow M\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 2$Vậy $Min_M=2$ khi $x=y=1$

Có rất nhiều cách giải, tui xin trình bày một cáchÁp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: $(1+1)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 4\geq (x+y)^2\Leftrightarrow 2\geq x+y$Ta có: $4\geq (1+1)(x+y)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\Leftrightarrow 2\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$Tiếp tục dùng BĐT trên ta được: $(\sqrt{y}+\sqrt{x})(\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}})\geq (x^2+y^2)^2\Leftrightarrow M\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\geq 2$Vậy $Min_M=2$ khi $x=y=1$

1.) Ta có: $A^2=\frac{(\sqrt{7+\sqrt{5}}+\sqrt{7-\sqrt{5}})^2}{7+2\sqrt{11}}=\frac{14+4\sqrt{11}}{7+2\sqrt{11}}=2$Vì $A>0$ nên $A=\sqrt{2}$2.) Ta có: $\frac{B}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}}{\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}}$$=\frac{\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)}=\sqrt{x-1}$ (Do $x\geq 2$ nên có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà không đổi dấu các hạng tử.)

1.) Ta có: $A^2=\frac{(\sqrt{7+\sqrt{5}}+\sqrt{7-\sqrt{5}})^2}{7+2\sqrt{11}}=\frac{14+4\sqrt{11}}{7+2\sqrt{11}}=2$Vì $A>0$ nên $A=\sqrt{2}$2.) Ta có: $\frac{B}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}}{\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-2\sqrt{2x-1}+1}}$$=\frac{\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)}=\sqrt{x-1}$ (Do $x\geq 2$ nên có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà không đổi dấu các hạng tử.)Suy ra $B=\sqrt{2x-2}$