cho phương trình tham số m

Từ hpt ta thấy y=0=>hpt vo nghiem=>$y\neq0$
Đặt $x=ky$($k$$\in$$R$)
hpt tro thanh
$\begin{cases}3k^{2}y^{2}+5ky^{2}-4y^{2}=38 \\ 5k^{2}y^{2}-9ky^{2}-3y^{2}=15 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}y^{2}(3k^{2}+5k-4)=38(1) \\ y^{2}(5k^{2}-9k-3)=15(2) \end{cases}$
lay (1) chia (2) ta duoc
$\frac{3k^{2}+5k-4}{5k^{2}-9k-3}$=$\frac{38}{15}$
<=>$k=3$ hoac $k=\frac{-18}{145}$
$.k=3$=>$x=3y$
the $k=3$ vao (1)=>$y=\pm1$=>$x=\pm3$
$.k=\frac{-18}{145}$=>$x=\frac{-18}{145}y$
the $k=\frac{-18}{145}$ vao (1)=>$y^{2}=\frac{-21025}{2531}$(vn)
Vay S={(1;3);(-1;-3)}

$\begin{cases}x(x+y)+y^{2}=4x-1(1) \\ x(x+y)^{2}-2y^{2}=7x+2(2) \end{cases}$
Từ pt (1) ta thay neu x=0 thi (1)<=>$y^{2}=-1$=>hpt vo nghiem
Ta chia 2 ve cua hpt cho $x\neq 0$ ta dc hpt
$\begin{cases}x+y + \frac{y^{2}}{x}=4-\frac{1}{x} \\ (x+y)^{2}-2\frac{y^{2}}{x}=7+\frac{2}{x} \end{cases}$
<=>$\begin{cases} (x+y) + \frac{y^{2}}{x}+\frac{1}{x}=4\\ (x+y)^{2}-2(\frac{y^{2}}{x}+\frac{1}{x})=7 \end{cases}$(*)
Đặt $a=x+y$
$b=\frac{y^{2}}{x}+\frac{1}{x}$
hpt(*) tro thanh
$\begin{cases}a+b=4 \\ a^{2}-2b=7 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}b=4-a \\ a^{2}+2a-15=0 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}b=4-a \\ a=3 hoac a=-5 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}a=3 \\ b=1 \end{cases}$ $v$ $\begin{cases}a=-5 \\ b=9 \end{cases}$
$.$$\begin{cases}a=3 \\ b=1 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x+y=3 \\ \frac{y^{2}+1}{x}=1 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x=3-y \\ y^{2}+y-2=0 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x=3-y \\ y=1 hoac y=-2 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases}$ $v$ $\begin{cases}x=5 \\ y=-2 \end{cases}$
$.$$\begin{cases}a=-5 \\ b=9 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x+y=-5 \\ \frac{y^{2}+1}{x}=9 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x=-5-y \\ y^{2}+9y+46=0 \end{cases}(hptVN)$
Vay S={(2;1);(5;-2)}

dk $x$$\geq $2 hoặc $x$$\leq $-2
A=$\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\sqrt{x^{2}-4}}$+$\sqrt{\frac{x^{2}}{4}-\sqrt{x^{2}-4}}$=$\sqrt{\frac{x^{2}-4}{4}+\sqrt{x^{2}-4}+1}$+$\sqrt{\frac{x^{2}-4}{4}-\sqrt{x^{2}-4}+1}$
=$\sqrt{(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}+1)^{2}}$+$\sqrt{(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}-1)^{2}}$=$\left| {\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}+1} \right|$+$\left| 1-{\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}} \right|$$\geq$$\left| {\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}+1+1-\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}} \right|$=2
Vay MinA=2<=>$(\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}+1)$$(1-\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2})$$\geq$0
                  <=>$-2\sqrt{2}$$\leq $$x$$\leq $$2\sqrt{2}$
Ket hop dk=>$2$$\leq $$x$$\leq $$2\sqrt{2}$ hoac $-2\sqrt{2}$$\leq$$x$$\leq$$2$

dk 14$x^{2}$-7$\geq$0<=>$x$$\geq$$\sqrt{\frac{1}{2}}$ hoặc $x$$\leq $-$\sqrt{\frac{1}{2}}$ (*)
Voi (*) pt<=>2$x^{2}$-$1$-$2\sqrt{7(2x^{2}-1)}$+7+$x^{2}$+$4x$+4=0
<=>$(\sqrt{2x^{2}-1}-\sqrt{7})^{2}$+$(x+2)^{2}$=0
<=>$\begin{cases}\sqrt{2x^{2}-1}=\sqrt{7} \\ x+2=0 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x^{2}=4 \\ x=-2\end{cases}$
<=>$x$=-2(nhan)
Vay S={-2}

x>2010<=>x-2010>0
A=$\frac{x}{2010}$+$\frac{2010}{x-2010}$=$\frac{x^{2}-2010x+2010^{2}}{2010(x-2010)}$=$\frac{(x-2010)^{2}+2010x}{2010(x-2010)}$=$\frac{x-2010}{2010}$+$\frac{x}{x-2010}$=$\frac{x-2010}{2010}$+$\frac{x-2010+2010}{x-2010}$
=$\frac{x-2010}{2010}$+1+$\frac{2010}{x-2010}$
Ap dung bdt Co-si
$\frac{x-2010}{2010}$+$\frac{2010}{x-2010}$$\geq$2
=>A$\geq$2+1=3
Vay MinA=3<=>$\frac{x-2010}{2010}$=$\frac{2010}{x-2010}$
                  <=>$(x-2010)^{2}$=$2010^{2}$
                  <=>$x-2010$=2010 (vì $x-2010$>0)
                  <=>$x$=4020(nhan)

$\begin{cases}1+x^{3}y^{3}=19x^{3}(1)\\ y+xy^{2}=-6x^{2}(2) \end{cases}$
Từ pt(1) ta thấy x=0 không là nghiem cua pt=>x=0 ko la nghiem cua hpt, ta nhan 2 ve pt (2) cho x ta duoc
$\begin{cases}1+x^{3}y^{3}=19x^{3}\\ xy+x^{2}y^{2}=-6x^{3} \end{cases}$
<=>$\begin{cases}(1+xy)(1-xy+x^{2}y^{2})=19x^{3} \\ xy(1+xy)=-6x^{3} \end{cases}$
<=>$\begin{cases}6(1+xy)(1-xy+x^{2}y^{2})=114x^{3} \\ 19xy(1+xy)=-114x^{3}\end{cases}$(*)
Dat a=1+xy
b=xy
hpt(*) tro thanh$\begin{cases}6a(a^{2}-3b)=114x^{3} (3)\\ 19ab=-114x^{3}(4) \end{cases}$
Cong (3) và (4)=> 6a($a^{2}$-3b)+19ab=0
<=>a(6$a^{2}$+b)=0
<=>a=0 v 6$a^{2}$+b=0
.a=0<=>1+xy=0<=>$x^{3}$$y^{3}$=-1
thế vao pt(1)=>x=0(loai)
.6$a^{2}$+b=0<=>6$(1+xy)^{2}$+xy=0
<=>6$x^{2}$$y^{2}$+13xy+6=0
<=>xy=-$\frac{2}{3}$ v xy=$-\frac{3}{2}$
.xy=-$\frac{2}{3}$<=>$x^{3}$$y^{3}$=-$\frac{8}{27}$
thế vào pt(1)=>x=$\frac{1}{3}$=>y=-2
.xy=-$\frac{3}{2}$<=>$x^{3}$$y^{3}$=-$\frac{27}{8}$
thế vào pt(1)=>x=-$\frac{1}{2}$=>y=3
Vậy S={($\frac{1}{3}$;-2);(-$\frac{1}{2}$;3)}

Ta thấy y=0 không là nghiem cua hpt nen ta chja 2 vế của hpt cho y ta được
$\begin{cases}\frac{x^{2}+1}{y}+x+y=4 \\ (\frac{x^{2}+1}{y})(x+y-2)=1\end{cases}$ (*)
Đặt a=$\frac{x^{2}+1}{y}$
b=x+y thì hpt (*) trở thành$\begin{cases}a+b=4 \\ a(b-2)=1 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}b=4-a \\ (a-1)^{2}=0 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}a=1\\ b=3 \end{cases}$
<=>$\begin{cases}\frac{x^{2}+1}{y}=1\\ x+y=3\end{cases}$
<=>$\begin{cases}x^{2}+1=y\\ y=3-x \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x^{2} +x-2=0\\ y=3-x \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x=1 v x=-2 \\ y=3-x \end{cases}$
<=>$\begin{cases}x=1 \\ y=2 \end{cases}$ v $\begin{cases}x=-2 \\ y=5 \end{cases}$
Vay S={(1;2);(-2;5)}

1.
Xét $\Delta$=$(m+5)^{2}$+4.(m+6)=$m^{2}$+14m+49=$(m+7)^{2}$$\geq$0
Vậy pt luôn có 2 nghiem $x_{1}$,$x_{2}$
Theo Vi-et
S=$x_{1}$+$x_{2}$=m+5  (1)
P=$x_{1}$$x_{2}$=-m-6  (2)
Theo đề 2$x_{1}$+3$x_{2}$=13  (3)
Giai hpt (1)và(3)=>$\begin{cases}x_{1}=3m+2 \\ x_{2}=-2m+3 \end{cases}$
The $x_{1}$,$x_{2}$ vào (2)ta được pt
-$m^{2}$+$m$+2=0
<=>$m$=2 v $m$=-1
2.
a.d:y(m-2)=2-2(m-1)x
Nếu m=2=>d:x=1=>gd (P) và d là A(1;1),B(-1;1)
=>m=2(nhan)
Nếu m=1=>d:y=-2=>(P) và d ko có gd
Neu m$\neq$2 và m$\neq$1
d:y=$\frac{2-2(m-1)x}{m-2}$
Pt hoành độ gd của (P) và d
$x^{2}$=$\frac{2-2(m-1)x}{m-2}$
<=>(m-2)$x^{2}$+2(m-1)$x$-2=0
$\Delta$'=$(m-1)^{2}$+2(m-2)=$m^{2}$-3
d cắt (P) tại 2 diem pb <=>$\Delta$'$>$0
                                  <=>m>$\sqrt{3}$ v m<-$\sqrt{3}$
Kết hop m=2=>m>$\sqrt{3}$ v m<-$\sqrt{3}$
b.Với m>$\sqrt{3}$ v m<-$\sqrt{3}$ thì d cat (P) tại 2 diem fb A($x_{a}$;$\frac{2-2(m-1)x_{a}}{m-2}$);B($x_{b}$;$\frac{2-2(m-1)x_{b}}{m-2}$)
$x_{a}$+$x_{b}$=$\frac{-2(m-1)}{m-2}$
Gọi I($x_{i}$;$x_{i}$) là trung diem AB
$\begin{cases}x_{i}=\frac{x_{a}+x_{b}}{2}\\ y_{i}=\frac{y_{a}+y_{b}}{2}\end{cases}$=$\begin{cases}x_{i}=\frac{1-m}{m-2}\\ y_{i}= \frac{2+2(m-1)^{2}}{(m-2)^{2}}\end{cases}$
Vậy I($\frac{1-m}{m-2}$;$\frac{2+2(m-1)^{2}}{(m-2)^{2}}$)
c.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến d;C($x_{c}$;$y_{c}$) là gd d và Ox;D($x_{d}$;$y_{d}$) là gd d và Oy
OC=$\left| {\frac{1}{m-1}} \right|$;OD=$\left| {\frac{2}{m-2}} \right|$
Ta có $\frac{1}{OH^{2}}$=$\frac{1}{OC^{2}}$+$\frac{1}{OD^{2}}$=$\frac{5m^{2}-12m+8}{4}$=$\frac{5(m-\frac{6}{5})^{2}}{4}$+$\frac{1}{5}$$\geq$$\frac{1}{5}$
<=>$OH^{2}$$\leq$5
<=>OH$\leq$$\sqrt{5}$(OH>0)
Vay MaxOH=$\sqrt{5}$<=>m=$\frac{6}{5}$

Ap dụng bdt Cauchy
xy$\leq$$(\frac{x+y}{2})^{2}$=4<=>$\frac{1}{xy}$$\geq $$\frac{1}{4}$
P=$x^{2}$+$y^{2}$+$\frac{33}{xy}$$\geq$2xy+$\frac{32}{xy}$+$\frac{1}{xy}$$\ge$16+$\frac{1}{4}$=$\frac{65}{4}$
VayMinP=$\frac{65}{4}$<=>$\begin{cases}x=y \\ x+y=4 \end{cases}$
                                  <=>x=y=2

Với x>2010=>A>0
A=$\frac{x}{2010}$+$\frac{2010}{x-2010}$=$\frac{x^{2}-2010x+2010^{2}}{2010(x-2010)}$
<=>A.2010($x$-2010)=$x^{2}$-2010$x$+$2010^{2}$
<=>$x^{2}$-(2010+2010A)$x$+$2010^{2}$+$2010^{2}$A=0
$\triangle$=$(1005+1005A)^{2}$-$2010^{2}$-$2010^{2}$A $\geq$0
<=>$A^{2}$-2A-3$\geq$0
<=>A$\geq$3 (vì A>0)
Vay MinA=3<=>$x^{2}$-8040$x$-16160400=0
                  <=>$x$=4020(nhan)

b.$x^{4}$+$\sqrt{x^{2}+2005}$=2005
<=>$x^{4}$+$x^{2}$+$\frac{1}{4}$=$x^{2}$+2005-$\sqrt{x^{2}+2005}$+$\frac{1}{4}$
<=>$(x^{2}+\frac{1}{2})^{2}$-$(\sqrt{x^{2}+2005}-\frac{1}{2})^{2}$=0
<=>($x^{2}$+$\sqrt{x^{2}+2005}$)($x^{2}$-$\sqrt{x^{2}+2005}$+1)=0
<=>$x^{2}$-$\sqrt{x^{2}+2005}$+1=0($x^{2}$+$\sqrt{x^{2}+2005}$$\ne$0)
<=>$x^{2}$+2005-$\sqrt{x^{2}+2005}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{8017}{4}$
<=>$(\sqrt{x^{2}+2005}-\frac{1}{2})^{2}$=$\frac{8017}{4}$
<=>$\sqrt{x^{2}+2005}$=$\pm$$\frac{\sqrt{8017}}{2}$+$\frac{1}{2}$
<=>$\sqrt{x^{2}+2005}$=$\frac{\sqrt{8017}}{2}$+$\frac{1}{2}$ ($\sqrt{x^{2}+2005}$>0)
<=>$x^{2}$=$\frac{-1+\sqrt{8017}}{2}$
<=>$x$=$\pm$$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{8017}}{2}}$