Đặt $x^{2}=a$ ; $y^{2} = b$. Khi đó ta có: b = 8 - a;Xét hàm số $f(a) = (a+\frac{1}{a})^{2}+(8-a+\frac{1}{8-a})^{2}$Ta có $f'(a)=2(a+\frac{1}{a})(1-\frac{1}{a^{2}})-2(8-a+\frac{1}{8-a})(1-\frac{1}{({8-a})^{2}})$$f'(a)=0\Leftrightarrow a=4$Từ đó ta lập bảng biến thiên thì sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất là $\frac{289}{8}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=4\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}=4.$
Đặt $x^{2}=a$ ; $y^{2} = b$. Khi đó ta có: $b=8-a$;Xét hàm số $f(a) = (a+\frac{1}{a})^{2}+(8-a+\frac{1}{8-a})^{2}$Ta có $f'(a)=2(a+\frac{1}{a})(1-\frac{1}{a^{2}})-2(8-a+\frac{1}{8-a})(1-\frac{1}{({8-a})^{2}})$$f'(a)=0\Leftrightarrow a=4$Từ đó ta lập bảng biến thiên thì sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất là $\frac{289}{8}$Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=4\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}=4.$