Bài này đơn giản thôi,Tổng số cách xếp 10 người vào bàn là $P = 10!$Số cách xếp để bình và an (trong 10 người này chỉ có 1 bình và 1 an thôi, nếu có 2 hoặc nhiều người tên bình hoặc an thì phải làm khác một chút) là $Q= C^2_{10} = \frac{10!}{2!(10-1)!}$vậy xác suất để bình và an ngồi cạnh nhau là: $A =\frac{Q}{P} = \frac{C^2_{10}}{10!} = \frac{1}{8!2!}$

Bài này đơn giản thôi,Tổng số cách xếp 10 người vào bàn là $P = 10!$Số cách xếp để bình và an (trong 10 người này chỉ có 1 bình và 1 an thôi, nếu có 2 hoặc nhiều người tên bình hoặc an thì phải làm khác một chút) là $Q= C^2_{10} = \frac{10!}{2!(10-2)!}$vậy xác suất để bình và an ngồi cạnh nhau là: $A =\frac{Q}{P} = \frac{C^2_{10}}{10!} = \frac{1}{8!2!}$

Bài này chuyển vế rồi dùng BDT cauchy là ra ngay Vế trái lớn hơn hoặc băng 10còn vế phải bằng 10x-1997= 16 y - 2013 = 1x = 2013y = 2014

Vậy thôi để mọi người ai thích giải thì giải

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x_1+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x_1+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \left(\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x_1+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

gọi số phức z = x+iyTheo giả thiết cho $\frac{z+4i}{2z}$ = $\frac{x+(y+4)i}{2x+2yi}$=$\frac{(x+(y+4)i)(x-yi)}{2x^2+2y^2}$=$\frac{x^2+y(y+4)+(x(y+4)-xy)i)}{2x^2+2y^2}$Để số cho là thuẩn ảo thì cần$x^2+y(y+4) = 0$hay $x^2+(y+2)^2 = 4$Vậy tập hợp những điểm sao cho $\frac{z+4i}{2z}$ là số thuẩn ảolà đường tròn tâm (0,-2) bán kính 2

Điều kiện $z\neq (0,0)$gọi số phức z = x+iyTheo giả thiết cho $\frac{z+4i}{2z}$ = $\frac{x+(y+4)i}{2x+2yi}$=$\frac{(x+(y+4)i)(x-yi)}{2x^2+2y^2}$=$\frac{x^2+y(y+4)+(x(y+4)-xy)i)}{2x^2+2y^2}$Để số cho là thuẩn ảo thì cần$x^2+y(y+4) = 0$hay $x^2+(y+2)^2 = 4$Vậy tập hợp những điểm sao cho $\frac{z+4i}{2z}$ là số thuẩn ảolà đường tròn tâm (0,-2) bán kính 2 loại bỏ điểm gốc toạ độ (0,0)

gọi số phức z = x+iyTheo giả thiết cho $\frac{z+4i}{2z}$ = $\frac{x+(y+4)i}{2x+2yi}$=$\frac{(x+(y+4)i)(x-yi)}{2x^2+2y^2}$=$\frac{x^2+y(y+4)+(x(y+4)-xy)i)}{2x^2+2y^2}$Để số cho là số thực thì cần4x= 0hay x=0Vậy tập hợp những điểm sao cho $\frac{z+4i}{2z}$ là số thựclà trục oy (trục phức) loại bỏ điểm gốc toạ độ (0,0)

điều kiện $z\neq (0,0)$gọi số phức z = x+iyTheo giả thiết cho $\frac{z+4i}{2z}$ = $\frac{x+(y+4)i}{2x+2yi}$=$\frac{(x+(y+4)i)(x-yi)}{2x^2+2y^2}$=$\frac{x^2+y(y+4)+(x(y+4)-xy)i)}{2x^2+2y^2}$Để số cho là số thực thì cần4x= 0hay x=0Vậy tập hợp những điểm sao cho $\frac{z+4i}{2z}$ là số thựclà trục oy (trục phức) loại bỏ điểm gốc toạ độ (0,0)

0<= a,b,c,<=9, a =/=0100a+10b+c =22a+22b+22c78a = 12b+21c26a = 4b+7c <=(4+7)*9 = 11*9 --> a<= 11*9/26a<= 3.8087 --> a<=3Từ phương trình 26a = 4b+7c ta thấy c phải chẵn thì mới có nghiệm nguyên a,bkhông xét a =0 vì khi đó số còn 2 chữ số-)a = 126 = 4b+7c =>7c --> c<=26/7 =3.7 --> c<=3+) loại c =1,3+) c= 0 --> b = 26/4 = 6.5 loại (ko nguyên)+) c =2 -->b = 3 thoả mãn-) a = 252 = 4b+ 7c --> c<=52/7 =7.4 --> c<=7+) c = 0 --> b = 13 loại vì >9+) c = 1,3,5,7 loại vì b không nguyên+) c =2 --> b =9.5+) c =4 -->b = 6 phù hợp+) c =6 -->b = 10/4 =2.5 loại-) a = 378 = 4b+7cgiống nhu trên ta thấy c= 1,3,5,7,9 loại vì khi đó b không nguyênc= 0,2,4 loại vì khi đó b không nguyên hoặc >10+) c = 6 --> b = (78-42)/4 =9 phù hợp+) c = 8 --> b =(78-56)/4 =5.5 loạiVậy các số phải tìm là 123, 246, 369 thoả mãn điều kiện của bài toán

0<= a,b,c,<=9, a =/=0100a+10b+c =22a+22b+22c78a = 12b+21c26a = 4b+7c <=(4+7)*9 = 11*9 --> a<= 11*9/26a<= 3.8087 --> a<=3Từ phương trình 26a = 4b+7c ta thấy c phải chẵn thì mới có nghiệm nguyên a,bkhông xét a =0 vì khi đó số còn 2 chữ số-)a = 126 = 4b+7c >=7c --> c<=26/7 =3.7 --> c<=3+) loại c =1,3+) c= 0 --> b = 26/4 = 6.5 loại (ko nguyên)+) c =2 -->b = 3 thoả mãn-) a = 252 = 4b+ 7c >=7c --> c<=52/7 =7.4 --> c<=7+) c = 0 --> b = 13 loại vì >9+) c = 1,3,5,7 loại vì b không nguyên+) c =2 --> b =9.5+) c =4 -->b = 6 phù hợp+) c =6 -->b = 10/4 =2.5 loại-) a = 378 = 4b+7c, --> 0<=c<=9giống nhu trên ta thấy c= 1,3,5,7,9 loại vì khi đó b không nguyênc= 0,2,4 loại vì khi đó b không nguyên hoặc >10+) c = 6 --> b = (78-42)/4 =9 phù hợp+) c = 8 --> b =(78-56)/4 =5.5 loạiVậy các số phải tìm là 123, 246, 369 thoả mãn điều kiện của bài toán

Bài này có 2 cách Cách 1: tôi chỉ hướng dẫn: hơi dàigọi phương trình đường thẳng là ax+by+c =0 ($ a^2+b^2 \neq 0$)vì khoảng cách tới A(1,0) = 1nên ta có$d(A/\Delta) = \frac{|a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$ (1)Khoảng cách tới B(0,-2) = 2$d(B/\Delta) = \frac{|-2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ (2)Nếu a = 0, thì từ phương trình (1) ta suy ra |c|/|b| =1hay |c| = |b| thay vào phương trình (2) ta được|-2b+c|/|b| = 1 hoặc 3 không thoả mãn điều kiện (2)Vậy để hệ (1),(2) có nghiệm thì $a\neq 0$Đặt b' = b/a; c' = c/a thay vào (1) và (2)giải hệ phương trình 2 ẩn b' và c' rồi thay vào phương trình ta sẽ tìm được 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toánCách 2 (độc chiêu sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác)Gọi C(x,y) sao cho A là trung điểm của BCDo đó dễ thấy điểm C có toạ độ (2,2) (dùng công thức trung điểm)Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điêm C: Điểm C chính là đỉnhcủa tam giác với cạch đáy là BH2 còn đường trung bình là AH1với H1, H2 là hình chiếu của A,B xuống đường thẳng cần tìm (vẽ hình ra giấy cái thấy ngay)Bài toán được đưa về: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm A(1,0)= 1Hoặc: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm B(0,-2)= 2đường thẳng đi qua điểm C(2,2) có phương trình $a(x-2)+b(y-2) = 0$ ($\Delta$) (a^2+b^2 \neq 0)hay ax+by-2a-2b =0khoảng cách từ A(1,0) đến ($\Delta$) $d(A/\Delta) = \frac{|a.1+b.0-2a-2b|}{a^2+b^2} = 1$$|a+2b| = \sqrt{a^2+b^2}$$a^2+4ab+4b^2 = a^2+b^2$$3b^2 = -4ab$hoặc b= 0 do đó đường thẳng ($\Delta$)là a(x-2)=0hay x=2hoặc 3b =-4a --> b = -4a/3thay vào ta được ($\Delta$)$a(x-2)+b(y-2) =0$$a(x-2)-4a/3(y-2)$$3(x-2)-4(y-2)=0$$3x-4y+2 =0$Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toán$x=2$$3x-4y+2 =0$

Bài này có 2 cách Cách 1: tôi chỉ hướng dẫn: hơi dàigọi phương trình đường thẳng là ax+by+c =0 ($ a^2+b^2 \neq 0$)vì khoảng cách tới A(1,0) = 1nên ta có$d(A/\Delta) = \frac{|a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$ (1)Khoảng cách tới B(0,-2) = 2$d(B/\Delta) = \frac{|-2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ (2)Nếu a = 0, thì từ phương trình (1) ta suy ra |c|/|b| =1hay |c| = |b| thay vào phương trình (2) ta được|-2b+c|/|b| = 1 hoặc 3 không thoả mãn điều kiện (2)Vậy để hệ (1),(2) có nghiệm thì $a\neq 0$Đặt b' = b/a; c' = c/a thay vào (1) và (2)giải hệ phương trình 2 ẩn b' và c' rồi thay vào phương trình ta sẽ tìm được 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toánCách 2 (độc chiêu sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác)Gọi C(x,y) sao cho A là trung điểm của BCDo đó dễ thấy điểm C có toạ độ (2,2) (dùng công thức trung điểm)Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điêm C: Điểm C chính là đỉnhcủa tam giác với cạch đáy là BH2 còn đường trung bình là AH1với H1, H2 là hình chiếu của A,B xuống đường thẳng cần tìm (vẽ hình ra giấy cái thấy ngay)Bài toán được đưa về: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm A(1,0)= 1Hoặc: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm B(0,-2)= 2đường thẳng đi qua điểm C(2,2) có phương trình $a(x-2)+b(y-2) = 0$ ($\Delta$) ($a^2+b^2 \neq 0$)hay $ax+by-2a-2b =0$khoảng cách từ A(1,0) đến ($\Delta$) $d(A/\Delta) = \frac{|a.1+b.0-2a-2b|}{a^2+b^2} = 1$$|a+2b| = \sqrt{a^2+b^2}$$a^2+4ab+4b^2 = a^2+b^2$$3b^2 = -4ab$hoặc b= 0 do đó đường thẳng ($\Delta$)là a(x-2)=0hay $x=2$hoặc $3b =-4a$ -->$ b = -4a/3$thay vào ta được ($\Delta$)$a(x-2)+b(y-2) =0$$a(x-2)-4a/3(y-2)$$3(x-2)-4(y-2)=0$$3x-4y+2 =0$Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toán$x=2$$3x-4y+2 =0$

Bài này có 2 cách Cách 1: tôi chỉ hướng dẫn: hơi dàigọi phương trình đường thẳng là ax+by+c =0 ($ a^2+b^2 \neq 0$)vì khoảng cách tới A(1,0) = 1nên ta có$d(A/\Delta) = \frac{|a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$ (1)Khoảng cách tới B(0,-2) = 2$d(B/\Delta) = \frac{|-2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ (2)Nếu a = 0, thì từ phương trình (1) ta suy ra |c|/|b| =1hay |c| = |b| thay vào phương trình (2) ta được|-2b+c|/|b| = 1 hoặc 3 không thoả mãn điều kiện (2)Vậy để hệ (1),(2) có nghiệm thì $a\neq 0$Đặt b' = b/a; c' = c/a thay vào (1) và (2)giải hệ phương trình 2 ẩn b' và c' rồi thay vào phương trình ta sẽ tìm được 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toánCách 2 (độc chiêu sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác)Gọi C(x,y) sao cho A là trung điểm của BCDo đó dễ thấy điểm C có toạ độ (2,2) (dùng công thức trung điểm)Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điêm C: Điểm C chính là đỉnhcủa tam giác với cạch đáy là BH2 còn đường trung bình là AH1với H1, H2 là hình chiếu của A,B xuống đường thẳng cần tìm (vẽ hình ra giấy cái thấy ngay)Bài toán được đưa về: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm A(1,0)= 1Hoặc: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm B(0,-2)= 2đường thẳng đi qua điểm C(2,2) có phương trình $a(x-2)+b(y-2) = 0$ ($\Delta$) (a^2+b^2 \neq 0)hay ax+by-2a-2b =0khoảng cách từ A(1,0) đến ($\Delta$) $d(A/\Delta) = \frac{|a.1+b.0-2a-2b|}{a^2+b^2} = 1$$(a+2b)^2 = \sqrt{a^2+b^2}$$a^2+4ab+4b^2 = a^2+b^2$$3b^2 = -4ab$hoặc b= 0 do đó đường thẳng ($\Delta$)là a(x-2)=0hay x=2hoặc 3b =-4a --> b = -4a/3thay vào ta được ($\Delta$)$a(x-2)+b(y-2) =0$$a(x-2)-4a/3(y-2)$$3(x-2)-4(y-2)=0$$3x-4y+2 =0$Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toán$x=2$$3x-4y+2 =0$

Bài này có 2 cách Cách 1: tôi chỉ hướng dẫn: hơi dàigọi phương trình đường thẳng là ax+by+c =0 ($ a^2+b^2 \neq 0$)vì khoảng cách tới A(1,0) = 1nên ta có$d(A/\Delta) = \frac{|a+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$ (1)Khoảng cách tới B(0,-2) = 2$d(B/\Delta) = \frac{|-2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$ (2)Nếu a = 0, thì từ phương trình (1) ta suy ra |c|/|b| =1hay |c| = |b| thay vào phương trình (2) ta được|-2b+c|/|b| = 1 hoặc 3 không thoả mãn điều kiện (2)Vậy để hệ (1),(2) có nghiệm thì $a\neq 0$Đặt b' = b/a; c' = c/a thay vào (1) và (2)giải hệ phương trình 2 ẩn b' và c' rồi thay vào phương trình ta sẽ tìm được 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toánCách 2 (độc chiêu sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác)Gọi C(x,y) sao cho A là trung điểm của BCDo đó dễ thấy điểm C có toạ độ (2,2) (dùng công thức trung điểm)Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điêm C: Điểm C chính là đỉnhcủa tam giác với cạch đáy là BH2 còn đường trung bình là AH1với H1, H2 là hình chiếu của A,B xuống đường thẳng cần tìm (vẽ hình ra giấy cái thấy ngay)Bài toán được đưa về: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm A(1,0)= 1Hoặc: tìm đường thẳng đi qua điểm C(2,2) sao cho khoảng cách của nó với điểm B(0,-2)= 2đường thẳng đi qua điểm C(2,2) có phương trình $a(x-2)+b(y-2) = 0$ ($\Delta$) (a^2+b^2 \neq 0)hay ax+by-2a-2b =0khoảng cách từ A(1,0) đến ($\Delta$) $d(A/\Delta) = \frac{|a.1+b.0-2a-2b|}{a^2+b^2} = 1$$|a+2b| = \sqrt{a^2+b^2}$$a^2+4ab+4b^2 = a^2+b^2$$3b^2 = -4ab$hoặc b= 0 do đó đường thẳng ($\Delta$)là a(x-2)=0hay x=2hoặc 3b =-4a --> b = -4a/3thay vào ta được ($\Delta$)$a(x-2)+b(y-2) =0$$a(x-2)-4a/3(y-2)$$3(x-2)-4(y-2)=0$$3x-4y+2 =0$Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toán$x=2$$3x-4y+2 =0$

Xét giới hạn:$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\tan(a-x)\tan(a+x)-\tan^2a}{x^2}$==$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sin(a-x)\sin(a+x)\cos^2a-\sin^2a\cos(a-x)\cos(a+x)}{x^2\cos^2a\cos(a-x)\cos(a+x)}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sin(a-x)\sin(a+x)-\sin^2a}{(\cos^2a)x^2}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1/2(\cos2a-\cos2x)-\sin^2a}{(\cos^2a)x^2}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1/2(1-2sin^a-1+2\sin^2x)-\sin^2a}{(\cos^2a)x^2}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1}{\cos^2a}\frac{\sin^2x}{x^2}$=$\frac{1}{\cos^2a}$

Xét giới hạn:$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\tan(a-x)\tan(a+x)-\tan^2a}{x^2}$==$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sin(a-x)\sin(a+x)\cos^2a-\sin^2a\cos(a-x)\cos(a+x)}{x^2\cos^2a\cos(a-x)\cos(a+x)}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sin(a-x)\sin(a+x)-\sin^2a}{(\cos^2a)x^2}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1/2(\cos2a-\cos2x)-\sin^2a}{(\cos^2a)x^2}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1/2(1-2sin^2a-1+2\sin^2x)-\sin^2a}{(\cos^2a)x^2}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{1}{\cos^2a}\frac{\sin^2x}{x^2}$=$\frac{1}{\cos^2a}$

dễ thấy hàm số có 2 tiệm cận Tiệm cận đứng x = -1và tiệm cân ngang y=1Gọi M(x,y)$\in (C)$ khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là $d = \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}$ (1)tìm (x,y) thoả mãn $y=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ (2)để sao cho d nhỏ nhấtMẹo giải bài này như sau:đặt X = x+1Y =1-ythay vào (1) và điều kiện (2) ta được$d=\sqrt(X^2+Y^2)$ (3)$Y =\frac{2}{X}$ (4)từ (4) ta thấy X,Y cùng dấu, nên ta chỉ cần xét phần X,Y >0 rồi sau đó ta lấy đối xứng qua điểm Otừ (3) theo bất đẳng thức cauchy ta được$d\geq \sqrt{2XY}=\sqrt{2.2}=2$dấu bằng xảy ra khi $X= Y$ kết hợp với (4) ta suy ra $X=Y=\sqrt{2}$vậy các điểm trên trục XOY là $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ và $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$Vậy có 2 điểm M thuộc (C) $(\sqrt{2}-1,1-\sqrt{2})$ và $(-\sqrt{2}-1,1+\sqrt{2})$với khoảng cách tới C là 2

dễ thấy hàm số có 2 tiệm cận Tiệm cận đứng x = -1và tiệm cân ngang y=1Gọi M(x,y)$\in (C)$ khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là $d = \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}$ (1)tìm (x,y) thoả mãn $y=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ (2)để sao cho d nhỏ nhấtMẹo giải bài này như sau:đặt X = x+1Y =1-ythay vào (1) và điều kiện (2) ta được$d=\sqrt{X^2+Y^2}$ (3)$Y =\frac{2}{X}$ (4)từ (4) ta thấy X,Y cùng dấu, nên ta chỉ cần xét phần X,Y >0 rồi sau đó ta lấy đối xứng qua điểm Otừ (3) theo bất đẳng thức cauchy ta được$d\geq \sqrt{2XY}=\sqrt{2.2}=2$dấu bằng xảy ra khi $X= Y$ kết hợp với (4) ta suy ra $X=Y=\sqrt{2}$vậy các điểm trên trục XOY là $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ và $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$Vậy có 2 điểm M thuộc (C) $(\sqrt{2}-1,1-\sqrt{2})$ và $(-\sqrt{2}-1,1+\sqrt{2})$với khoảng cách tới C là 2

xét hàm số f(x) = (hàm số đã cho)tập xác định của hàm số là R, dó đó hàm số liên tục trên tập R hay nó liên tục trên [-2.1] (*)ta thấy với mọi m thì $1+m^{2010}\neq 0$ do đó ta xét f(-2)*f(1) = -1500*1500 <0 (**)từ (*) và (*,*) Theo định lý gì đó (tôi quên tên nằm trong chương trình phổ thông) nhưng tiếng anh nó là the intermediater value theorem (định lý giá trị trung bình) tồn tại một số $c \in (-2,1)$ sao cho f(c) =0Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi số thực m

Điều kiện: sin2x \neq -1/2 Quyđồng mẫu số rồi nhân vào ta được sin3x+cos3x = cos2x+sin4xChuyển vế: sin4x-sin3x = cos3x-cos2x2sin(x/2)cos(7x/2) = -2sin(5x/2)sin(x/2)Do đó:Sin(x/2) = 0 \rightarrow x/2=k\pi \rightarrow x = 2k\pi (thoả mãn điều kiện sin 2x\neq -1/2)Hoặc:cos(7x/2)=-sin(5x/2)=cos(\pi/2+5x/2)\rightarrow 7x/2 = \pi/2+5x/2 + 2k\pi \rightarrow x= \pi/2 + 2k\pi (thoả mãn điều kiện sin 2x\neq -1-/2)Hoặc: 7x/2 = -\pi/2-5x/2 + 2k\pi \rightarrow x=\pi/12+k\pi/3 So với điều kiện sin 2x\neq -1-/2 thì chỉ lấy được nghiệmx = \pi/12+ 2k\pix = 3\pi/4+2k\pix = 13\pi/12+2k\pix = -pi/4+2k\pivậy phương trình đã cho có nghiệmx = 2k\pi x= \pi/2 + 2k\pi x = \pi/12+ 2k\pix = 3\pi/4+2k\pix = 13\pi/12+2k\pix = -pi/4+2k\pivới k\in Z

Điều kiện: sin2x \neq -1/2 Quyđồng mẫu số rồi nhân vào ta được sin3x+cos3x = cos2x+sin4xChuyển vế: sin4x-sin3x = cos3x-cos2x2sin(x/2)cos(7x/2) = -2sin(5x/2)sin(x/2)Do đó:Sin(x/2) = 0 \rightarrow x/2=k\pi \rightarrow x = 2k\pi (thoả mãn điều kiện sin 2x\neq -1/2)Hoặc:cos(7x/2)=-sin(5x/2)=cos(\pi/2+5x/2)\rightarrow 7x/2 = \pi/2+5x/2 + 2k\pi \rightarrow x= \pi/2 + 2k\pi (thoả mãn điều kiện sin 2x\neq -1-/2)Hoặc: 7x/2 = -\pi/2-5x/2 + 2k\pi \rightarrow x=\pi/12+k\pi/3 So với điều kiện sin 2x\neq -1-/2 thì chỉ lấy được nghiệmx = \pi/12+ 2k\pix = 3\pi/4+2k\pix = 13\pi/12+2k\pix = -pi/4+2k\pivậy phương trình đã cho có nghiệmx = 2k\pi x= \pi/2 + 2k\pi x = \pi/12+ 2k\pix = 3\pi/4+2k\pix = 13\pi/12+2k\pix = -pi/4+2k\pivới k\in Z

Điều kiện x, y \ge 0 Từ phương trình 1 và 2 ta có \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^{2}=\sqrt{y-1} \\ (y-1)^{2}=\sqrt{x-1} \end{array} \right. Ta có (x-1)^{16}= (x-1)\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-1=0\\ (x-1)^{15} = 1\end{array} \right.\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ x = 2\end{array} \right. Thay vào một trong 2 phương trình ta được y=1 or y=2Vậy nghiệm của hệ (x,y) = (1,1) , (2,2)

Điều kiện x, y \geq 0 Từ phương trình 1 và 2 ta có \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^{2}=\sqrt{y-1} \\ (y-1)^{2}=\sqrt{x-1}\end{array}\right. Ta có (x-1)^{16}= (x-1)\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-1=0\\ (x-1)^{15} = 1\end{array} \right.\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ x = 2\end{array} \right. Thay vào một trong 2 phương trình ta được y=1 or y=2Vậy nghiệm của hệ (x,y) = (1,1) , (2,2)