do $a^2+b^2+c^3=1$ nên BĐT cần chứng minh tương đương với :
$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
hay $\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
áp dụng BĐT cauchy cho 3 số dương ta có :
$\sqrt[3]{(2a^2)(1-a^2)(1-a^2)} \leq \frac{(2a^2)+(1-a^2)+(1-a^2)}{3} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow a^2(1-a^2)^2 \leq \frac{4}{27}$
mà $a>0$ và $1-a^2 = b^2+c^2 >0$ nên $0<a(1-a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
từ đó ta có : $\frac{a^2}{a(1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
tương tự ta cũng chứng minh được $\frac{b^2}{b(1-b^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$
$\frac{c^2}{c(1-c^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2$
cộng theo vế ta có :
$\frac{a^2}{a(1-a^2)}+\frac{b^2}{b(1-b^2)}+\frac{c^2}{c(1-c^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow \frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ ĐPCM