b) $$\sqrt x  - \sqrt {x + 1}  > 1 \Leftrightarrow \frac{{x - x - 1}}{{\sqrt x  + \sqrt {x + 1} }} > 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt x  + \sqrt {x + 1} }} > 1$$
Mà $\sqrt x  + \sqrt {x + 1} > 0 \forall x \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt x  + \sqrt {x + 1} }} <0\forall x \in \mathbb{R}$
Vậy bất phương trình vô nghiệm.

a)  $x^{2}+x+1+\frac{1}{x^{2}+x+1}<1$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
$x^{2}+x+1+\frac{1}{x^{2}+x+1} \geq 2\sqrt{x^{2}+x+1.\frac{1}{x^{2}+x+1}} \geq 2 > 1$
Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27}\\ {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + \frac{{{u_1} + {u_3}}}{2} + {u_3} = 27}\\ {u_1^2 + {{\left( {\frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}} \right)}^2} + u_3^2 = 275} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + {u_3} = 18} \\   {u_1^2 + u_3^2 = 194} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + {u_3} = 18} \\   {{u_1}{u_3} = 65} \end{array}} \right.$$
$\Rightarrow u_1,u_3$ là nghiệm của pt ${x^2} - 18x + 65 = 0$
$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 13\\ {u_3} = 5 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ {u_3} = 13 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 13\\ d =  - 4 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ {u_3} = 4 \end{array} \right.$$

a) $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + 2{u_5} = 0} \\   {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{14}} = 14} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + 2({u_1} + 4d) = 0} \\   {14{u_1} + \frac{{14(14 - 1)}}{2}d = 14} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {3{u_1} + 8d = 0} \\   {14{u_1} + 91d = 14} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} =  - \frac{{16}}{{23}}} \\   {d = \frac{6}{{23}}} \end{array}} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27}\\ {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + \frac{{{u_1} + {u_3}}}{2} + {u_3} = 27}\\ {u_1^2 + {{\left( {\frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}} \right)}^2} + u_3^2 = 275} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + {u_3} = 18} \\   {u_1^2 + u_3^2 = 194} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + {u_3} = 18} \\   {{u_1}{u_3} = 65} \end{array}} \right.$$
$\Rightarrow u_1,u_3$ là nghiệm của pt ${x^2} - 18x + 65 = 0$
$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 13\\ {u_3} = 5 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ {u_3} = 13 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 13\\ d =  - 4 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ {u_3} = 4 \end{array} \right.$$

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + 2{u_5} = 0} \\   {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{14}} = 14} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} + 2({u_1} + 4d) = 0} \\   {14{u_1} + \frac{{14(14 - 1)}}{2}d = 14} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {3{u_1} + 8d = 0} \\   {14{u_1} + 91d = 14} \end{array}} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}   {{u_1} =  - \frac{{16}}{{23}}} \\   {d = \frac{6}{{23}}} \end{array}} \right.$$

Mình làm theo hướng này bạn xem thử nhé:
$${\cos ^2}x = \frac{5}{2}\sin 2x + 3 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{5}{2}\sin 2x + 3 \Leftrightarrow 5\sin 2x - \cos 2x =  - 5$$
Nhận thấy $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ không là nghiệm của phương trình nên đặt: $t=\tan x$
Phương trình trở thành:
$$\frac{{10t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} =  - 5$$
$$\Leftrightarrow 6{t^2} + 10t + 4 = 0$$
$$\Leftrightarrow t =  - 1 \vee t =  - \frac{2}{3}$$
$$\Rightarrow \tan x =  - 1 \vee t =  - \frac{2}{3}$$
$$\Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + m\pi ,m \in \mathbb{Z} \vee x =  - \arctan \frac{2}{3} + n\pi ,n \in \mathbb{Z}$$
Bây giờ bạn chỉ cần chọn ra những nghiệm thuộc khoảng đang xét rồi thay vào tính giá trị của biểu thức.

$\sqrt[3]{{6x + 1}} = 2x \Leftrightarrow 8{x^3} - 6x - 1 = 0$
Đặt: $x = \cos t$ với $t \in \left[ {0;\pi } \right]$
Phương trình trở thành:
$2(4{\cos ^3}t - 3\cos t) = 1$
$\Leftrightarrow \cos 3t = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 3t = \frac{{\pi }}{3}$
$\Leftrightarrow t = \frac{{\pi }}{9}$
$\Rightarrow x =\cos \frac{{\pi }}{9}$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\cos \frac{{\pi }}{9}$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết