Có S=$4+a+b+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Có $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$(BĐT cosi)
$S\geq \frac{2}{b}+4b-3b+\frac{2}{a}+4a-3a+6$
Mà $\frac{2}{b}+4b\geq4\sqrt{2},\frac{2}{a}+4a\geq4\sqrt{2}$
$\Rightarrow S\geq 8\sqrt{2}+6-3(a+b)$
Lại có $(a+b)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow-3(a+b)\geq-3\sqrt{2}$
Từ đó $Min S=6+5\sqrt{2}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$