a,Với x,y,z đã cho ta có BĐT sau:
$3(x^3+y^3+z^3)\geq(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)$
Vì đây là bđt thuần nhất đối xứng nên để CM có thể chuẩn hóa cho $x+y+z=3$ bạn tự CM
Vì vậy nên $VT\geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3}+3(x^2+y^2+z^2)+12xyz=\frac{11}{3}(x^2+y^2+z^2)+12xyz$
Theo bất đẳng thức Schur ta có $(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+xz)$
Với $x+y+z=1$ thì $1+9xyz\geq 4(xy+yz+xz)$
$\Rightarrow 12xyz\geq 12.\frac{4(xy+yz+xz)-1}{9}$
$VT\geq \frac{11}{3}(x^2+y^2+z^2)+\frac{16(xy+yz+xz)-4}{3}=\frac{11(x^2+y^2+z^2)+16(xy+yz+xz)-4}{3}$
$11(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)-6(xy+yz+xz)-4=11(x+y+z)^2-6(xy+yz+xz)-4\geq 11-2-4=5\Rightarrow Q.E.D$
Dấu = khi $x=y=z$