Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$
Không mất tính tổng quát chuẩn hóa cho $a+b+c=1$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a})+(\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b})+(\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c})\leq 9$
$\Leftrightarrow \frac{5a-1}{a-a^2}+\frac{5b-1}{b-b^2}+\frac{5c-1}{c-c^2}\leq 9$
Ta có đánh giá sau:$\frac{5a-1}{a-a^2}\leq 18a-3\Leftrightarrow \frac{(3a-1)^2(2a-1)}{a-a^2}\leq 0$(1)
Ta có thể giả sử a=max{a,b,c} nên $0<a<\frac{1}{2}$ nên 1 đúng
Vậy $\sum \frac{5a-1}{a-a^2}\leq 18(a+b+c)-9=9$
Phép chứng minh hoàn tất.
Áp dụng ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 4(\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{b+c+a}{b+c}+\frac{a+c+b}{a+c})$
$\Leftrightarrow \frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 4(\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c})$
Bất đẳng thức ban đàu tương đương với:
$\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\geq 3+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$
Nó đúng nếu ta chỉ ra $4(\sum \frac{c}{a+b)})\geq 3+2(\sum \frac{c}{a+b})$
Theo BĐT Nesbit ta có đpcm