Câu bất này khá hay có ĐK
abc=1 cũng không cần dùng đến.
Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:
a3(a+b)3+b3(b+c)3+c3(a+c)3+5abc(a+b)(b+c)(a+c)≥1
Đặt x=a−ba+b,y=b−cb+c,z=c−ac+a→x+y+z+xyz=0
Có 1+x=2aa+b,1+y=2bb+c,1+z=2ca+c.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(1+x)3+(1+y)3+(1+z)3+5(1+x)(1+y)(1+z)≥8
Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:
12(x+y+z)[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]+3∑x2+5∑xy≥0
x+y+z=−(a−b)(b−c)(c−a)(a+b)(c+b)(a+c.Không mất tính tổng quát giả sử a≥b≥c.Thế thì x+y+z≥0
Bây giờ cần chỉ ra:3(x2+y2+z2)+5(xy+yz+xz)≥0
Nếu xy+yz+xz≥0 thì ta có đpcm.
Nếu xy+yz+xz≤0 thì ta có 3(x+y+z)2−(xy+yz+xz)≥0
Vậy bài toán đc CM.
Áp dụng ta có:
1(1+ba)3+1(1+cb)3+1(1+ac)3+5(1+ba)(1+bc)(1+ac)≥1
Do ba.cb.ac=1 nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.