toán học

Tìm GTNN của P=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}]+5

GTLN, GTNN

toán học

Tìm GTNN của P=$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}]$+5

GTLN, GTNN

Bài nhóm Abel

Cho $1\leq z\leq $min{x;y} ;$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3};y\sqrt{3}+z\sqrt{10}\geq 2\sqrt{10}$.Tìm Min của:P=$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2}$

Bất đẳng thức

Bài nhóm Abel

Cho $1\leq z\leq $min{x;y} ;$x+z\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3};y\sqrt{3}+z\sqrt{10}\geq 2\sqrt{10}$.Tìm Max của:P=$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{y^2}+\frac{3}{z^2}$

Bất đẳng thức

Nhận xét rằng y=0 không là nghiệm nên ta viết lại hệ:\begin{cases}x+3y+\frac{7}{y}-8=\sqrt{3xy+6} \\ \sqrt{x+\frac{7}{y}+1}=5-\sqrt{3y+1} \end{cases}Tiếp đó đặt $a=\sqrt{x+1+\frac{7}{y}};b=\sqrt{3y+1}$Hệ sẽ trở thành:\begin{cases}a^2+b^2-10=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$\Leftrightarrow \begin{cases}(a+b)^2-2ab-10=\sqrt{a^2b^2+2ab-(a+b)^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$Từ đó ta quy về giải PT:$15-2ab=\sqrt{(ab)^2+2ab-39}$Với ĐK a,b không âm ta tìm được $ab=6$ kết hợp với $a+b=5$ thì có a=3,b=2 hoặc các hoán vị.Từ đó hệ có nghiệm: $(x;y)=(1;1) và (\frac{3}{8},\frac{8}{3})$

Nhận xét rằng y=0 không là nghiệm nên ta viết lại hệ:\begin{cases}x+3y+\frac{7}{y}-8=\sqrt{3xy+6} \\ \sqrt{x+\frac{7}{y}+1}=5-\sqrt{3y+1} \end{cases}Tiếp đó đặt $a=\sqrt{x+1+\frac{7}{y}};b=\sqrt{3y+1}$Hệ sẽ trở thành:\begin{cases}a^2+b^2-10=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$\Leftrightarrow \begin{cases}(a+b)^2-2ab-10=\sqrt{a^2b^2+2ab-(a+b)^2-14} \\ a+b=5 \end{cases}$Từ đó ta quy về giải PT:$15-2ab=\sqrt{(ab)^2+2ab-39}$Với ĐK a,b không âm ta tìm được $ab=6$ kết hợp với $a+b=5$ thì có a=3,b=2 và các hoán vị.Từ đó hệ có nghiệm: $(x;y)=(1;1) và (\frac{3}{8},\frac{8}{3})$

Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.

Câu bất này khá hay có ĐK $abc=1$ cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$Đặt $x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$Có $1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$.Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.Thế thì $x+y+z\geq0$Bây giờ cần chỉ ra:$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$Nếu $xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.Nếu $xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có $3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$Do $\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.