|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Áp dụng BĐT Schur dạng sau:$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+ac+bc)$
Áp dụng BĐT Schur dạng sau:$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+ac+bc)$ Với $a+b+c=1$ thì $1+9abc\geq 4(ab+bc+ac)$$\Rightarrow 4(ab+bc+ac)-8abc\leq 1+abc\leq 1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}$$\Rightarrow (ab+bc+ac)-2abc\leq \frac{7}{27}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta dễ dàng có $a,b,c<1$ Vậy $(1-a)(1-b)(1-c)>0\rightarrow ab+bc+ac>1+abc$Do đó ta có được:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc $Với $a+b+c=2$ ta có:$27(a^2+b^2+c^2)+5aabc\geq 52$
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta dễ dàng có $a,b,c<1$ Vậy $(1-a)(1-b)(1-c)>0\rightarrow ab+bc+ac>1+abc$Do đó ta có được:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc $Với $a+b+c=2$ ta có:$27(a^2+b^2+c^2)+54abc\geq 52$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta dễ dàng có $a,b,c<1$ Vậy $(1-a)(1-b)(1-c)>0\rightarrow ab+bc+ac>1+abc$ Do đó ta có được: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow 4>a^2+b^2+c^2+2+2abc $ Với $a+b+c=2$ ta có: $27(a^2+b^2+c^2)+54abc\geq 52$ |
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Áp dụng BĐT Schur dạng sau: $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+ac+bc)$ Với $a+b+c=1$ thì $1+9abc\geq 4(ab+bc+ac)$ $\Rightarrow 4(ab+bc+ac)-8abc\leq 1+abc\leq 1+\frac{1}{27}=\frac{28}{27}$
$\Rightarrow (ab+bc+ac)-2abc\leq \frac{7}{27}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức
|
|
|
|
Ta đã biết đến kết quả sau: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ với mọi a,b,c không âm Do vậy BĐT quy về CM: $ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\geq a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(b^2+a^2)$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Tìm số t!
|
|
|
|
Xác định số thực $t$ sao cho với mọi $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ ta luôn có bất đẳng thức: $\frac{a}{1+9bc+t(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ac+t(c-a)^2}+\frac{c}{1+9ab+t(a-b)^2}\geq \frac{1}{2}$ |
|
|
|
sửa đổi
|
Phương trình vô tỉ
|
|
|
|
Phương trình vô tỉ 1) \frac{9}{x^{2}} + \frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}} - 1 = 02)x^{2} - 1 = 2x\sqrt{x^{2}-20}3)x^{2} + 4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}4)(4x-1)\sqrt{x^{3}+1}=2x^{3} + 2x + 1
Phương trình vô tỉ 1) $\frac{9}{x^{2}} + \frac{2x}{\sqrt{2x^{2}+9}} - 1 = 0 $2) $x^{2} - 1 = 2x\sqrt{x^{2}-20} $3) $x^{2} + 4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4} $4) $(4x-1)\sqrt{x^{3}+1}=2x^{3} + 2x + 1 $
|
|
|
|
giải đáp
|
giải bất đẳng thức bằng cân bằng hệ số
|
|
|
|
Đầu tiên ta giả sử rằng P đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=x,b=y,c=z$.Khi đó ta phải có: $x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$.Bây giờ sử dụng BĐT AM-GM ta có: $a^2+x^2\geq 2ax, b^3+b^3+y^3\geq 3yb^2, c^4+c^4+c^4+z^4\geq 4zc^3$ $\Rightarrow a^2+x^2\geq 2ax,\frac{1}{2}(2b^3+y^3)\geq \frac{3}{2}.yb^2,\frac{1}{3}(3c^4+z^4)\geq \frac{4}{3}zc^3$ Cộng lại thì có ngay: $a^2+b^3+c^4\geq (2ax+\frac{3}{2}yb^2+\frac{4}{3}zc^3)-x^2-\frac{y^3}{2}-\frac{z^4}{3}$ Phải chon $x,y,z$ sao cho $2x=\frac{3y}{2}=\frac{4z}{3}$ và $x+y^2+z^3=\frac{325}{9}$ Giải ra sẽ tìm được:$x=2,y=\frac{8}{3},z=3$ thay vào sẽ tìm đc Min =$\frac{2807}{27}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải hệ sau.
|
|
|
|
Xét PT(2) trước ta có được: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 2\rightarrow \sqrt{xy}\leq 1\rightarrow \sqrt{xy}\geq xy$ Từ PT(1) có:$\frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)}=\frac{1+\sqrt{2-x^2-y^2}}{\sqrt{xy(2-x^2-y^2)}+4}\leq \frac{1+\sqrt{2-x^2-y^2}}{4}$ Từ PT(2) có được:$\sqrt{2-x^2-y^2}=\frac{2-\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+1}$ $\Rightarrow 2\sqrt{xy}+1\leq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-(x+y)+xy$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}-2)^2\leq 3+xy-2(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$\Rightarrow 3+\sqrt{xy}\geq 3+xy\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq 4\sqrt[4]{xy}$
$\Rightarrow \sqrt{xy}\geq 1$ Do vậy ta có $x=y=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức và cực trị
|
|
|
|
Biến đổi BT về dạng: $P=\frac{\frac{5}{c}+\frac{9}{a}+\frac{8}{b}}{(\frac{4}{b}+\frac{3}{a})(\frac{5}{c}+\frac{4}{b})(\frac{3}{a}+\frac{5}{c})}$ Ta có thể đặt $x=\frac{3}{a},y=\frac{4}{b},z=\frac{5}{c}\rightarrow P=\frac{3x+2y+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}$ Do $a+b+c=\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{5}{z}\leq 6\rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+3(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})\Rightarrow 6\geq \frac{4}{x+y}+\frac{12}{y+z}+\frac{8}{x+z}(1)$ Ta tiếp tục biến đổi $P=\frac{2(x+y)+x+z}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}$ Ta đặt $\frac{1}{x+y}=m,n=\frac{1}{y+z},p=\frac{1}{x+z}$ thế thì từ (1) ta có được: $m+3n+2p\leq \frac{3}{2}$ và $P=2np+mn$ Xét $(m+3n+2p)^2-12(2np+mn)=(m-3n+2p)^2\geq0\Rightarrow P\leq \frac{1}{12}.\frac{9}{4}=\frac{3}{16}$ Dấu = khi $a=\frac{3}{2},b=2,c=\frac{5}{2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức Cô-si
|
|
|
|
Bài 1: a.Áp dụng BĐT Cosi 3 số cho a,b,c và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ b. Có $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$ Nhân 2 BĐT trên vế theo vế ta có đpcm |
|
|
|
sửa đổi
|
Cách nhanh nhất nhá!!!!!
|
|
|
|
Cách nhanh nhất nhá!!!!! x^4+ x^3 +x^2(y+1)+y(2x +y) -37 =0 và y+x^2 +x-7 =0
Cách nhanh nhất nhá!!!!! \begin{cases}x^4+x^3+x^2(y+1)+y(2x+y)-37=0 \\ x^2 +y+x-7=0 \end{cases}
|
|
|
|
|
|
|
|