Điều kiện xác định của phương trình: $x$$\geq $$\frac{1}{8}$ Đặt $u$$=$$\sqrt[4]{8x-1}$$\geq$$0$, $v$$=$$\sqrt[4]{9x+1}$$>$$0$Ta có: $u+v=3\sqrt[4]{x}$ $(1)$ và $u^4+v^4=17x$ $(2)$Mặt khác: $u^4$$+$$v^4$$=$$\left[ {(u+v)^2-2uv} \right]^2$$-$$2u^2v^2$$=$$\left ( 9\sqrt{x}-2uv \right )^2$$-2u^2v^2$ $(3)$Đặt $t=uv$ thì từ $(2)$ và $(3)$ta có phương trình: $\left ( 9\sqrt{x}-2t \right )^2-2t^2=17x$$\Leftrightarrow $$4t^2-36t\sqrt{x}+81x-2t^2=17x$$\Leftrightarrow$$2t^2-36\sqrt{x}+64x=0$$\Leftrightarrow$$t^2-18t\sqrt{x}+32x=0$Giải phương trình theo ẩn $t$ thì:$\Delta'=81x-32x=49x$$t_{1}=9\sqrt{x}+7\sqrt{x}=16\sqrt{x}$$\Rightarrow (8x-1)(9x+1)=65536x^2$$\Leftrightarrow 72x^2-x-1=65536x^2$$\Leftrightarrow 65464x^2+x+1=0$ (vô nghiệm)$t_{2}=9\sqrt{x}-7\sqrt{x}=2\sqrt{x}$$\Rightarrow (8x-1)(9x+1)=16x^2$$\Rightarrow 72x^2-x-1=16x^2$$\Leftrightarrow 56x^2-x-1=0$$\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=\frac{1}{7}$

Điều kiện xác định của phương trình: $x$$\geq $$\frac{1}{8}$ Đặt $u$$=$$\sqrt[4]{8x-1}$$\geq$$0$, $v$$=$$\sqrt[4]{9x+1}$$>$$0$Ta có: $u+v=3\sqrt[4]{x}$ $(1)$ và $u^4+v^4=17x$ $(2)$Mặt khác: $u^4$$+$$v^4$$=$$\left[ {(u+v)^2-2uv} \right]^2$$-$$2u^2v^2$$=$$\left ( 9\sqrt{x}-2uv \right )^2$$-2u^2v^2$ $(3)$Đặt $t=uv$ thì từ $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình: $\left ( 9\sqrt{x}-2t \right )^2-2t^2=17x$$\Leftrightarrow $$4t^2-36t\sqrt{x}+81x-2t^2=17x$$\Leftrightarrow$$2t^2-36\sqrt{x}+64x=0$$\Leftrightarrow$$t^2-18t\sqrt{x}+32x=0$Giải phương trình theo ẩn $t$ thì:$\Delta'=81x-32x=49x$$t_{1}=9\sqrt{x}+7\sqrt{x}=16\sqrt{x}$$\Rightarrow (8x-1)(9x+1)=65536x^2$$\Leftrightarrow 72x^2-x-1=65536x^2$$\Leftrightarrow 65464x^2+x+1=0$ (vô nghiệm)$t_{2}=9\sqrt{x}-7\sqrt{x}=2\sqrt{x}$$\Rightarrow (8x-1)(9x+1)=16x^2$$\Leftrightarrow 72x^2-x-1=16x^2$$\Leftrightarrow 56x^2-x-1=0$$\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=\frac{1}{7}$

Ta có: $\left ( a+b+c \right )^2$$\geq$$3$$(ab+bc+ca)$ $\Leftrightarrow$$\frac{3}{ab+bc+ca}$$\geq$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$ta chứng minh: $1$$+$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$$\geq$$\frac{6}{a+b+c}$ $\Leftrightarrow$$\left ( 1-\frac{3}{a+b+c} \right )$$\geq$$0$ (Đúng)dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$

Ta có: $\left ( a+b+c \right )^2$$\geq$$3$$(ab+bc+ca)$ $\Leftrightarrow$$\frac{3}{ab+bc+ca}$$\geq$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$ta chứng minh: $1$$+$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$$\geq$$\frac{6}{a+b+c}$ $\Leftrightarrow$$\left ( 1-\frac{3}{a+b+c} \right )^2$$\geq$$0$ (Đúng)dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$