Do (O;R) đựng (I;r) $\Rightarrow OI<R-r\Rightarrow R>OI$
Áp dụng định lý Fuss, ta có:
$\frac{1}{(R-OI)^2}+\frac{1}{(R+OI)^2}=\frac{1}{r^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{r^2}-\frac{2}{R^2-OI^2}=(\frac{1}{R-OI}-\frac{1}{R+OI})^2  (\geq0)$
$\Rightarrow R^2-2r^2\geq OI^2  (\geq 0)$
$\Rightarrow R\geq r\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{1}{R-OI}-\frac{1}{R+OI}=0 \\ OI=0 \end{cases} \Leftrightarrow OI=0 \Leftrightarrow O\equiv I$ , hay tứ giác ABCD là hình vuông.

Sơ lược cách giải:
Đặt:       $y=\sqrt{x^2+1}-x$
       $\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\sqrt{x^2+1}+x$
Từ đó ta có phương trình:
      $y^5+\frac{1}{y^5}=123$
Đặt: $z=y^5$ giải phương trình bậc 2 theo $z$ từ đó suy ra $y$ sau đó tìm được $x$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện xác định của phương trình: $x$$\geq $$\frac{1}{8}$ 
Đặt $u$$=$$\sqrt[4]{8x-1}$$\geq$$0$, $v$$=$$\sqrt[4]{9x+1}$$>$$0$
Ta có: $u+v=3\sqrt[4]{x}$         $(1)$
       và $u^4+v^4=17x$      $(2)$
Mặt khác: $u^4$$+$$v^4$$=$$\left[ {(u+v)^2-2uv} \right]^2$$-$$2u^2v^2$$=$$\left ( 9\sqrt{x}-2uv \right )^2$$-2u^2v^2$  $(3)$
Đặt $t=uv$ thì từ $(2)$ và $(3)$ ta có phương trình:
    $\left ( 9\sqrt{x}-2t \right )^2-2t^2=17x$
$\Leftrightarrow $$4t^2-36t\sqrt{x}+81x-2t^2=17x$
$\Leftrightarrow$$2t^2-36\sqrt{x}+64x=0$
$\Leftrightarrow$$t^2-18t\sqrt{x}+32x=0$
Giải phương trình theo ẩn $t$ thì:
$\Delta'=81x-32x=49x$
$t_{1}=9\sqrt{x}+7\sqrt{x}=16\sqrt{x}$
$\Rightarrow (8x-1)(9x+1)=65536x^2$
$\Leftrightarrow 72x^2-x-1=65536x^2$
$\Leftrightarrow 65464x^2+x+1=0$ (vô nghiệm)
$t_{2}=9\sqrt{x}-7\sqrt{x}=2\sqrt{x}$
$\Rightarrow (8x-1)(9x+1)=16x^2$
$\Leftrightarrow 72x^2-x-1=16x^2$
$\Leftrightarrow 56x^2-x-1=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=\frac{1}{7}$

Giải:
Do $x$, $y$$>$$0$, theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$2xy$$\leq $$x^2+y^2$
$\Rightarrow $$\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$$=$$\frac{2y^3}{2(x^2+y^2)+2xy}$$\geq $$\frac{2y^3}{3(x^2+y^2)}$
Tương tự ta có:
$\frac{z^3}{y^2+yz+z^2}$$\geq $$\frac{2z^3}{3(y^2+z^2)}$
$\frac{x^3}{z^2+zx+x^2}$$\geq $$\frac{2x^3}{3(z^2+x^2)}$
$\Rightarrow$$\frac{3}{2}S$$\geq $$\frac{y^3}{x^2+y^2}$$+$$\frac{z^3}{y^2+z^2}$$+$$\frac{x^3}{z^2+x^2}$$=$$A$   (đặt biểu thức)
Ta có:
$\frac{y^3}{x^2+y^2}$$=$$\frac{y(x^2+y^2)-yx^2}{x^2+y^2}$$=$$y-\frac{yx^2}{x^2+y^2}$$\geq$$y-\frac{yx^2}{2yx}=$$y-\frac{x}{2}$
Tương tự ta có:
$\frac{z^3}{y^2+z^2}$$\geq $$z-\frac{y}{2}$
$\frac{x^3}{z^2+x^2}$$\geq $$x-\frac{z}{2}$
$\Rightarrow $$A$$\geq $$\frac{x+y+z}{2}$$=$$\frac{9}{2}$
$\Rightarrow $$S$$\geq $$3$
Dấu bằng của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi $x=y=z$
Vậy: giá trị nhỏ nhất của $S=3$ xảy ra khi $x=y=z=3$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có:      $\left ( a+b+c \right )^2$$\geq$$3$$(ab+bc+ca)$
          $\Leftrightarrow$$\frac{3}{ab+bc+ca}$$\geq$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$
ta chứng minh: $1$$+$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$$\geq$$\frac{6}{a+b+c}$
          $\Leftrightarrow$$\left ( 1-\frac{3}{a+b+c} \right )^2$$\geq$$0$ (Đúng)
dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết