Giải:
Do $x$, $y$$>$$0$, theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$2xy$$\leq $$x^2+y^2$
$\Rightarrow $$\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$$=$$\frac{2y^3}{2(x^2+y^2)+2xy}$$\geq $$\frac{2y^3}{3(x^2+y^2)}$
Tương tự ta có:
$\frac{z^3}{y^2+yz+z^2}$$\geq $$\frac{2z^3}{3(y^2+z^2)}$
$\frac{x^3}{z^2+zx+x^2}$$\geq $$\frac{2x^3}{3(z^2+x^2)}$
$\Rightarrow$$\frac{3}{2}S$$\geq $$\frac{y^3}{x^2+y^2}$$+$$\frac{z^3}{y^2+z^2}$$+$$\frac{x^3}{z^2+x^2}$$=$$A$   (đặt biểu thức)
Ta có:
$\frac{y^3}{x^2+y^2}$$=$$\frac{y(x^2+y^2)-yx^2}{x^2+y^2}$$=$$y-\frac{yx^2}{x^2+y^2}$$\geq$$y-\frac{yx^2}{2yx}=$$y-\frac{x}{2}$
Tương tự ta có:
$\frac{z^3}{y^2+z^2}$$\geq $$z-\frac{y}{2}$
$\frac{x^3}{z^2+x^2}$$\geq $$x-\frac{z}{2}$
$\Rightarrow $$A$$\geq $$\frac{x+y+z}{2}$$=$$\frac{9}{2}$
$\Rightarrow $$S$$\geq $$3$
Dấu bằng của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi $x=y=z$
Vậy: giá trị nhỏ nhất của $S=3$ xảy ra khi $x=y=z=3$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có:      $\left ( a+b+c \right )^2$$\geq$$3$$(ab+bc+ca)$
          $\Leftrightarrow$$\frac{3}{ab+bc+ca}$$\geq$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$
ta chứng minh: $1$$+$$\frac{9}{(a+b+c)^2}$$\geq$$\frac{6}{a+b+c}$
          $\Leftrightarrow$$\left ( 1-\frac{3}{a+b+c} \right )^2$$\geq$$0$ (Đúng)
dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$