Một bài toán hay

Cho $a,b$ là hai nghiệm phân biệt của PT: $A \cos x + B \sin x= C$, ($a,b\in [0,2\pi)$) Chứng minh $\cos^{2} \frac{a-b}{2}=\frac {C^2}{A^2+B^2}$

Biểu thức lượng giác

Một bài toán hay

a) Cho $a,b$ là hai nghiệm phân biệt của PT: $A \cos x + B \sin x= C$, ($a,b\in [0,2\pi)$) Chứng minh $\cos^{2} \frac{a-b}{2}=\frac {C^2}{A^2+B^2}$b) Giải các bất phương trình :$\begin{array}{l}1)\,\,\,{\log _x}\sqrt {20 - x} > 1\\2)\,\,{\log _5}\left( {x + 5} \right) + 2{\log _5}\sqrt {1 - 3x} > 1\\3)\,\,2{\log _{\frac{1}{2}}}x < 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}x\end{array}$

Biểu thức lượng giác

Phương trình lôgarit

a) Giải phương trình$\log_{5x+9}(x^2 + 6x + 9) + \log_{x+3}(5x^2 + 24x + 27) = 4$b) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 (1)\\ 3\log_9(9x^2)-\log_3 y^3=3 (2) \end{array} \right.$c) $\log_{2x-1}(2x^2+x-1)+\log_{x+1}(2x-1)^2=4$.d) $\log_2^2(x+1)-6\log_2\sqrt{x+1}+2=0$e) $\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt{x^2 - 2x + 2} = 3^{y-1} +1\\ y +\sqrt{y^2 - 2y +2} = 3^{x-1} +1\end{array} \right.$f) $\begin{array}{l}1)\,\,\left( {2 + \sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \right)\left( {\frac{2}{x} - 1} \right) \le \left( {\sqrt {14x - 2{x^2} - 24} + 2} \right){\log _x}\frac{2}{x}\\\\2)\,\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + x + \sqrt {10x - 2{x^2} - 12} + 3{\log _4}\frac{3}{x} \ge 3\end{array}$) g) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm $\log_5(5^x+1).\log_{25}(5^{x+1}+5)=2m+1$h) $\log _{3}\sqrt{x^{2}-3x+2}+\frac{1}{5}^{3x-x^{2}-1}=2$

Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit

a) Giải phương trình$\log_{5x+9}(x^2 + 6x + 9) + \log_{x+3}(5x^2 + 24x + 27) = 4$b) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1}+\sqrt{2-y}=1 (1)\\ 3\log_9(9x^2)-\log_3 y^3=3 (2) \end{array} \right.$c)$\log_{2x-1}(2x^2+x-1)+\log_{x+1}(2x-1)^2=4$.d) $\log_2^2(x+1)-6\log_2\sqrt{x+1}+2=0$e) $ \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt{x^2 - 2x + 2} = 3^{y-1} +1\\ y +\sqrt{y^2 - 2y +2} = 3^{x-1} +1\end{array} \right. $f)$\begin{array}{l}1)\,\,\left( {2 + \sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \right)\left( {\frac{2}{x} - 1} \right) \le \left( {\sqrt {14x - 2{x^2} - 24} + 2} \right){\log _x}\frac{2}{x}\\\\2)\,\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + x + \sqrt {10x - 2{x^2} - 12} + 3{\log _4}\frac{3}{x} \ge 3\end{array}$g) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm$\log_5(5^x+1).\log_{25}(5^{x+1}+5)=2m+1$h)$\log _{3}\sqrt{x^{2}-3x+2}+\frac{1}{5}^{3x-x^{2}-1}=2$

Phương trình lôgarit

chứng minh bất đẳng thức

Cho $x,y\in [0;1]$. Chứng minh rằng $2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\leq 2(x-1)(y-1)+1$

Bất đẳng thức

chứng minh bất đẳng thức

a) Cho $x,y\in [0;1]$. Chứng minh rằng $2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\leq 2(x-1)(y-1)+1$b) $\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{b^4+c^4}{b^2+c^2}+\frac{c^4+a^4}{c^2+a^2}\ge\ a+b+c$c) $a, b \ge 0$.CM$\frac{{(a + b)^2 }}{2} + \frac{{a + b}}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$d) $x\not= 0, y \not= 0$. CM $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 \ge 3 \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$ e)$\sum |b+c-a| \ge \max\left\{ {\sum|a| , \sum|b-c|} \right\}$f)$x,y,z >0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ .CM$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq \frac{1}{2}$g) $a,b,c >0,$ $ab+bc+ca=1$ .CM$\sum \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3}{2}$h) $(n+1)^{n+1} \le 4n^{n+1}$

Bất đẳng thức

Phương trình vô tỉ

Giải PT$\sqrt{x^{2}+48}= 4x-3+\sqrt{x^{2} +35}$

Phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ

a) Giải PT$\sqrt{x^{2}+48}= 4x-3+\sqrt{x^{2} +35}$ b) $\sqrt{x^2-x-2}+3\sqrt{x}\leq\sqrt{5x^2-4x-6}$c) $\begin{cases}{\left( {x - y} \right)^2} + x + y = {y^2} \\ {x^4} - 4{x^2}y + 3{x^2} = - {y^2} \end{cases}$d) $\begin{cases} x^2+1+xy^2=3x \\ x^4+1+x^3y=3x^2 \end{cases}$ e) Giải phương trình: $(\sqrt{2}-1)^x+(\sqrt{2}+1)^x-2\sqrt{2}=0$f) Giải phương trình $\log_2^2(x+1)-6\log_2\sqrt{x+1}+2=0$

Phương trình vô tỉ

Hệ phương trình

Giải hệ$x^3+y^2=28$$x^2+y^3=10$

Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Hệ phương trình

Giải hệa) $x^3+y^2=28$ và $x^2+y^3=10$ b) $\begin{cases} 3x^2+2xy+2y^2-3x-2y=0 \\ 5x^2+2xy+5y^2-3x-3y=2\end{cases}$ c) $\begin{cases}e^x-e^{x-y}=y \\ e^y-e^{y-z}=z\\e^z-e^{z-z}=x \end{cases}$d) $\begin{cases} {x^4} + 5y = 6 \\ {x^2}{y^2} + 5x = 6 \end{cases}$e) $\begin{array}{l}1) 2\log \left( {x + \frac{1}{2}} \right) - \log \left( {x - 1} \right) = \log \left( {x + \frac{5}{2}}\right) + \log 2\\2) \log \left( {x + \frac{4}{3}} \right) - \log \left( {x - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{2}\log \left( {x+ 6} \right) - \frac{1}{2}\log x\end{array}$

Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

PT mũ

Giải PT$2^{x^2-x}+3^{x^2-x}=2{\cdot}5^{x^2-x}$

Phương trình mũ

PT mũ

a) Giải PT$2^{x^2-x}+3^{x^2-x}=2{\cdot}5^{x^2-x}$ b) GPT nghiệm nguyên $x^x+y^y=z^z$ c) GPT nghiệm nguyên không âm $2^x+3^x-4^x=1$d) GPT nghiệm nguyên không âm $33^x+31=2^y$e) GPT $(1-x)+(1+x)e^{-x}=0$ và $1<x<2$f) GPT $3^x+5^x=6x+2$

Phương trình mũ

PT nghiệm nguyên

Giải PT nghiệm nguyên$9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$

Phương trình nghiệm nguyên

PT nghiệm nguyên

a) Giải PT nghiệm nguyên$9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y$ b) Tìm các số nguyên tố $p, q$ thỏa mãn $p^2-p-1 = q^3$ .c)$[\sqrt[3]{x^3+y}]=[\sqrt[3]{y^3+x}]$.d) $x\in\mathbb{R}$1)$\left[3x-2\right]-\left[2x-1\right]=2x-6$2) $x]^2= [3x-2]$3) $x^2-3x+2]=3x-7$e) $x^{3}-y^{3}=5xy+67$

Phương trình nghiệm nguyên