$Vì x,y,z  là  độ  dài  3  cạnh  tam  giác  nên  :1-\frac{x}{y+z},1-\frac{y}{x+z},1-\frac{z}{x+y}\geq 0Ta Có:$
$P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}} +\sqrt{1-\frac{y}{x+z}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}\leq \frac{1-\frac{x}{y+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{y}{x+z}+1}{2}+\frac{1-\frac{z}{x+y}+1}{2}$
$Hay  2P \leq 6-(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$
$ Đặt A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$
$Ta có:Áp  dụng  hệ  quả   bđt  Bunhiacopxi $
$Ta có :A\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}$
$Mà  \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{2.(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}.Dễ  dàng  chứng  minh  thôi  nhân  chéo  là  ra $
$Suy ra  A\geqslant \frac{3}{2} $
$Nên P \leq\frac{6-\frac{3}{2}}{2}$$<=>P\leq \frac{9}{4}$
 $Dấu  ''=''  xảy  ra  khi  x=y=z.Hay  tam  giác  đó  đều $
$Vậy max P=\frac{9}{4}   Khi  tam  giác  đều $

$Tìm x  thỏa  mãn  Bp t:$
$8.x^{3} +76x.\sqrt{x} +1 \geq 58.x^{2}+29x$

$Ta có:a^{2}.\sqrt{bc}\leq a^{2}.\frac{b+c}{2}$
$b^{2}.\sqrt{ac}\leq b^{2}.\frac{a+c}{2}$ 
 $c^{2}.\sqrt{ab}\leq c^{2}.\frac{a+b}{2}$ 
$Suy ra:$
 $a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq a^{2}.\frac{b+c}{2}+ b^{2}.\frac{a+c}{2}+c^{2}.\frac{a+b}{2}$
$<=> a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq \frac{ab.(a+b)}{2}+\frac{bc.(b+c)}{2}+\frac{c.a(c+a)}{2}(*)$
$Biến  đổi  tương  đương  dễ  dàng  chứng  minh: ab.(a+b)\leq a^{3}+b^{3} ,bc.(b+c) \leq c^{3}+b^{3},ca.(c+a) \leq a^{3}+c^{3}(**)$
$Từ(*)   và  (**) Suy ra : a^{2}.\sqrt{bc}+b^{2}.\sqrt{ac}+c^{2}.\sqrt{ab}\leq a^{3}+b^{3}+ c^{3}$

$Với  a,b,c>0,abc=1.Chứng minh$
$\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}\geq\frac{3}{2}$