ĐK: $D=R$. Xét: $f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=\frac{x(1+x)}{\sqrt{x^{2}+x+1}}\Rightarrow f'(x)=\frac{(2x+1)(x^{2}+x+2)}{2(x^{2}+x+2)\sqrt{x^{2}+x+1}}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$
Từ đây lập bảng biến thiên:

Mình không biết sử dụng lệnh để vẽ nốt mũi tên ở ô trống còn lại, bạn tự vẽ nhé.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy  phương trình có nghiệm với mọi $m\in (-\infty ;+\infty )$

$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{log^{3}_{2}x}{x\sqrt{1+3ln^{2}x}}dx$
Đặt:
$u=log^{3}_{2}x\Rightarrow u'=3log^{2}_{2}x.\frac{1}{xln2}$ 
$v'=\frac{1}{x\sqrt{1+3ln^{2}x}}\Rightarrow v=\int\limits_{}^{}\frac{1}{x\sqrt{1+3ln^{2}x}}dx=\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+3ln^{2}x}}d(lnx)$ .
Đặt: $lnx=t\Rightarrow \int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}dt$. Đặt: $t=\frac{1}{\sqrt{3}}tanu\Rightarrow dt=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{cos^{2}u}du$. Ta được:
$\int\limits_{}^{}\frac{1}{cosu}du=\int\limits_{}^{}\frac{1}{1-sin^{2}u}d(sinu)=\frac{1}{2}ln\left| {\frac{1+sinu}{1-sinu}} \right|+c$ 

Làm đến đây thì mình chẳng biết biến đổi kiểu gì để thay $lnx$ vào với mục đích là tìm ra v. Mọi người giúp mình với.

Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong tại A và cạnh BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AD, cắt AD tại H và AB tại N. $\Rightarrow$ H là trung điểm của CN.
 Phương trình CN: $x-y+5=0$
Từ đó tính được $H(0;5); N(4;9)$. Giả sử $A(a; 5-a); (a>0)$

Gọi d là đường thẳng đi qua $M(2;0)$ và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị (C): $y=\left| {x} \right|^{3}-3\left| {x} \right|-2$ tại 4 điểm phân biệt

Khi đọc lời giải của khangnguyenthanh, mình không hiểu chỗ này lắm. Mọi người giải thích giúp mình với.
$\int\limits_{0}^{+\infty }x^{3}e^{-x^{2}}dx=\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}x^{3}e^{-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}-x^{2}d(e^{-x^{2}})$ 
Mình không hiểu tại sao:
$\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}x^{3}e^{-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{a \to +\infty }\int\limits_{0}^{a}-x^{2}d(e^{-x^{2}})$
Mà nhân tiện đây mọi người cho mình hỏi luôn bài này. Mình đọc toán học tuổi trẻ số 395 về phương pháp giải tích phân đặc biệt nhưng khi làm bài này áp dụng nó thì lại không thấy ra. Mọi người giải đáp giúp mình với.
$\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[5]{(1+x^{5})^{6}}}dx$ 

Mọi người giải thích cho mình chỗ này với. Mình đọc không hiểu lắm.
$\frac{1-(cos\varphi+isin\varphi)}{1+cos\varphi+isin\varphi}$
$=tan\frac{\varphi}{2}\frac{sin\frac{\varphi}{2}-icos\frac{\varphi}{2}}{cos\frac{\varphi}{2}+isin\frac{\varphi}{2}}=-itan\frac{\varphi}{2}$ 
  Mình không hiểu vì sao $\frac{sin\frac{\varphi}{2}-icos\frac{\varphi}{2}}{cos\frac{\varphi}{2}+isin\frac{\varphi}{2}}=-i$

Tìm nguyên hàm của biểu thức:
                      $\frac{1}{(3+x)lnx}$