Tìm số tự nhiên n để $4^{19}+4^{1000}+4^{n}$ là số chính phương

Tìm số tự nhiên n để $4^{19}+4^{1000}+4^{n}$ là số chính phương

Số học

Tìm x,y nguyên tố sao cho $x^2+3xy+y^2$ là lũy thừa của 5

Tìm x,y nguyên tố sao cho $x^2+3xy+y^2$ là lũy thừa của 5

Số học

$\left| {a+b} \right|<\left| {1+ab} \right|$ (1)Vì 2 vế không âm bình phương hai vế ta có: $a^2+b^2+2ab<1+a^2b^2+2ab$$\Leftrightarrow a^2-1+b^2-a^2b^2<0$ $\Leftrightarrow (a^2-1)(1-b^2)<0$ (2)Vì $\left| {a} \right|<1 (gt)\Rightarrow a^2<1\Rightarrow a^2-1<0$ ; $\left| {b} \right|<1 (gt)\Rightarrow b^2<1\Rightarrow 1-b^2>0$$\Rightarrow(a^2-1)(1-b^2)<0 $ $\Rightarrow (2) $ đúng $\Rightarrow (1) $ đúng

Biến đồi tương đương $\left| {a+b} \right|<\left| {1+ab} \right|$ (1)Vì 2 vế không âm bình phương hai vế ta có: $a^2+b^2+2ab<1+a^2b^2+2ab$$\Leftrightarrow a^2-1+b^2-a^2b^2<0$ $\Leftrightarrow (a^2-1)(1-b^2)<0$ (2)Vì $\left| {a} \right|<1 (gt)\Rightarrow a^2<1\Rightarrow a^2-1<0$ ; $\left| {b} \right|<1 (gt)\Rightarrow b^2<1\Rightarrow 1-b^2>0$$\Rightarrow(a^2-1)(1-b^2)<0 $ $\Rightarrow (2) $ đúng $\Rightarrow (1) $ đúng

Viết lại hệ đã cho:(I) $ \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} $$\Leftrightarrow (A)\begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2 (1)\end{cases} ; (B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2 (2) \end{cases}$ $\Rightarrow$ x,y là nghiệm của PT: $T^2 - (x+y)T +xy = 0$* Ta thấy hệ trên là hệ đối xứng loại 1 nên nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ ấy. Từ 2 PT (1) và (2) => (A) và (B) không thể cùng có 2 nghiệm chung.$\Rightarrow$ Để (I) có 2 nghiệm chung khi mỗi PT (A) và (B) có nghiệm kép$ \Delta_{A}=\Delta_{B} = (x+y)^2 - 4xy = 4-4(1-m) = 4m $ => Hai hệ (A), (B) cùng có nghiệm khi $m ≥ 0$, cùng vô nghiệm khi $m<0$Vậy để (I) có 2 nghiệm chung khi $ 4m=0 \Leftrightarrow m=0$ P/s: Đọc kĩ, hơi khó hiểu tí ;))))))))

Viết lại hệ đã cho:(I) $ \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} $$\Leftrightarrow (A)\begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2 (1)\end{cases} ; (B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2 (2) \end{cases}$ $\Rightarrow$ x,y là nghiệm của PT: $T^2 - (x+y)T +xy = 0$* Ta thấy hệ trên là hệ đối xứng loại 1 nên nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ ấy. Từ 2 PT (1) và (2) => (A) và (B) không thể cùng có 2 nghiệm chung.$\Rightarrow$ Để (I) có 2 nghiệm chung khi mỗi PT (A) và (B) có nghiệm kép$ \Delta_{A}=\Delta_{B} = (x+y)^2 - 4xy = 4-4(1-m) = 4m $ => Hai hệ (A), (B) cùng có nghiệm khi m ≥ 0, cùng vô nghiệm khi $m<0$Vậy để (I) có 2 nghiệm chung khi $ 4m=0 \Leftrightarrow m=0$ P/s: Đọc kĩ, hơi khó hiểu tí ;))))))))

Viết lại hệ đã cho:(I) $ \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} $$\Leftrightarrow (A)\begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2 (1)\end{cases} ; (B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2 (2) \end{cases}$ $\Rightarrow$ x,y là nghiệm của PT: $T^2 - (x+y)T +xy = 0$* Ta thấy hệ trên là hệ đối xứng loại 1 nên nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ ấy. Từ 2 PT (1) và (2) => (A) và (B) không thể cùng có 2 nghiệm chung.$\Rightarrow$ Để (I) có 2 nghiệm chung khi mỗi PT (A) và (B) có nghiệm kép$ \Delta_{A}=\Delta_{B} = (x+y)^2 - 4xy = 4-4(1-m) = 4m $ => Hai hệ (A), (B) cùng có nghiệm khi $m>0$, cùng vô nghiệm khi $m<0$Vậy để (I) có 2 nghiệm chung khi $ 4m=0 \Leftrightarrow m=0$ P/s: Đọc kĩ, hơi khó hiểu tí ;))))))))

Viết lại hệ đã cho:(I) $ \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} $$\Leftrightarrow (A)\begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2 (1)\end{cases} ; (B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2 (2) \end{cases}$ $\Rightarrow$ x,y là nghiệm của PT: $T^2 - (x+y)T +xy = 0$* Ta thấy hệ trên là hệ đối xứng loại 1 nên nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ ấy. Từ 2 PT (1) và (2) => (A) và (B) không thể cùng có 2 nghiệm chung.$\Rightarrow$ Để (I) có 2 nghiệm chung khi mỗi PT (A) và (B) có nghiệm kép$ \Delta_{A}=\Delta_{B} = (x+y)^2 - 4xy = 4-4(1-m) = 4m $ => Hai hệ (A), (B) cùng có nghiệm khi $m ≥ 0$, cùng vô nghiệm khi $m<0$Vậy để (I) có 2 nghiệm chung khi $ 4m=0 \Leftrightarrow m=0$ P/s: Đọc kĩ, hơi khó hiểu tí ;))))))))

Viết lại hệ đã cho:(I) $ \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} $$\Leftrightarrow (A)\begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2 (1)\end{cases} ; (B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2 (2) \end{cases}$ $\Rightarrow$ x,y là nghiệm của PT: $T^2 - (x+y)T +xy = 0$* Ta thấy hệ trên là hệ đối xứng loại 1 nên nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ ấy. Từ 2 PT (1) và (2) => (A) và (B) không thể cùng có 2 nghiệm chung.$\Rightarrow$ Để (I) có 2 nghiệm chung khi mỗi PT (A) và (B) có nghiệm kép$ \Delta_{A}=\Delta_{B} = (x+y)^2 - 4xy = 4-4(1-m) = 4m $ => Hai hệ cùng có nghiệm khi $m>0$, cùng vô nghiệm khi $m<0$Vậy để (I) có 2 nghiệm chung khi $ 4m=0 \Leftrightarrow m=0$ P/s: Đọc kĩ, hơi khó hiểu tí ;))))))))

Viết lại hệ đã cho:(I) $ \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2=2(1-m) \\ (x+y)^2=4 \end{cases} $$\Leftrightarrow (A)\begin{cases}xy=1-m \\ x+y=2 (1)\end{cases} ; (B) \begin{cases}xy=1-m \\ x+y=-2 (2) \end{cases}$ $\Rightarrow$ x,y là nghiệm của PT: $T^2 - (x+y)T +xy = 0$* Ta thấy hệ trên là hệ đối xứng loại 1 nên nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ ấy. Từ 2 PT (1) và (2) => (A) và (B) không thể cùng có 2 nghiệm chung.$\Rightarrow$ Để (I) có 2 nghiệm chung khi mỗi PT (A) và (B) có nghiệm kép$ \Delta_{A}=\Delta_{B} = (x+y)^2 - 4xy = 4-4(1-m) = 4m $ => Hai hệ (A), (B) cùng có nghiệm khi $m>0$, cùng vô nghiệm khi $m<0$Vậy để (I) có 2 nghiệm chung khi $ 4m=0 \Leftrightarrow m=0$ P/s: Đọc kĩ, hơi khó hiểu tí ;))))))))

Dùng công thức tính tổng: [(số đầu + số cuối)x số số hạng ]:2Áp dụng: \frac{\frac{1}{5}+ \frac{1}{55}x11}{2} = \frac{66}{55}

Dùng công thức tính tổng: [(số đầu + số cuối)x số số hạng ]:2Áp dụng: $ \frac{(\frac{1}{5}+ \frac{1}{55}).11}{2} = \frac{66}{55}$