Cho đường tròn $(O)$ cắt đường tròn $(O')$ tại $A, B$. Cát tuyến $EBF$ tùy ý. Định vị trí $E, F$  để đường tròn nội tiếp $\triangle EAF$ max

Áp dụng BĐT $(a+b)^2 \leq 2(a^2+1)$ (CM= tương đương vì  $a, b, c, d >0$)

Ta có : $(a+1)^2 \leq 2(a^2+1) \Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2} \geq \frac{1}{2(a^2+1)}$

Tương tự với b, c, d , ta được :

$\frac{1}{(1+a)^2}  + \frac{1}{(1+b)^2} +  \frac{1}{(1+c)^2}  + \frac{1}{(1+d)^2}  \geq  \frac{1}{2}(\frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1} + \frac{1}{c^2+1} + \frac{1}{d^2+1})$ 

Theo BĐT Jensen, ta có   $\frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1}  \geq \frac{2}{ab+1}$  (Cm bằng tương đương)

Tương tự, ta có :  

$\frac{1}{a^2+1}  + \frac{1}{b^2+1} + \frac{1}{c^2+1} + \frac{1}{d^2+1} \geq \frac{4}{abcd+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(c+1)^2} + \frac{1}{(d+1)^2} \geq \frac{4}{2(abcd+1)} = 1$  (đpcm) 

Cho $a, b, c, d > 0$ thỏa  $abcd = 1$ 

CMR :$\frac{1}{(1+a)^2}$ + $\frac{1}{(1+b)^2}$ + $\frac{1}{(1+c)^2}$ + $\frac{1}{(1+d)^2}$ $\geq 1$  

1/ Ta có $\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} \leq \frac{2}{\sqrt{ab}+1}$ (Cm bằng cách tương đương vì $ab \leq 1$) 

Tương tự : $\frac{1}{1+c} + \frac{1}{1+d} \leq \frac{2}{\sqrt{cd} + 1}$ 

$\frac{2}{\sqrt{ab} + 1} + \frac{2}{\sqrt{cd} + 1} \leq \frac{4}{\sqrt{4}{abcd} + 1}$    (đpcm)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Ta có :       $3(a + b + c) = 3(ab + bc + ca) \leq (a+b+c)^2$
       
        $\Leftrightarrow         a + b + c  \geq  3  (1)$

Vì  $a, b, c > 0$  nên theo BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có : $a^2 + b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2}$

Tương tự  : $b^2 + c^2 \geq \frac{(b+c)^2}{2}      và       c^2 + a^2 \geq \frac{(c+a)^2}{2}$ 

Ta có :

$\frac{a+b}{a^2+b^2} + \frac{b+c}{b^2+c^2} + \frac{c+a}{c^2+a^2} \leq \frac{a+b}{\frac{(a+b)^2}{2}} + \frac{b+c}{\frac{(b+c)^2}{2}} + \frac{c+a}{\frac{(c+a)^2}{2}}$

$\Leftrightarrow  VT  \leq  \frac{2}{a+b} + \frac{2}{b+c} + \frac{2}{c+a}$

Từ $(1) \Rightarrow  a+b \geq 3-c            ;            b+c \geq 3-a            ;            c+a \geq 3-b$

Nên    $2(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a})  \leq  2(\frac{1}{3-c} + \frac{1}{3-a} + \frac{1}{3-b}) = -2(\frac{1}{a-3} + \frac{1}{b-3} + \frac{1}{c-3}) (2)$

Áp dụng BĐT sau :         $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}  \geq  \frac{9}{x+y+z}$  (Cm bằng tương đương) 

Ta có 

$\frac{1}{a-3} + \frac{1}{b-3} + \frac{1}{c-3}  \geq  \frac{9}{a+b+c-9}$

$\Leftrightarrow -2(\frac{1}{3-a} + \frac{1}{3-b} + \frac{1}{3-c})  \leq  \frac{18}{9-(a+b+c)} \leq \frac{18}{6} = 3$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
 

$$\begin{cases}\sqrt{x+1} + \sqrt{y-1} = 4 \\ \sqrt{x+6} + \sqrt{y+4} = 6 \end{cases}$$  $\Leftrightarrow$ $$\begin{cases}x + y + 2\sqrt{(x+1)(y-1)} = 16 \\ x + y + 10 + 2\sqrt{(x+6)(y+4)}= 36 \end{cases}$$  $\Leftrightarrow$  $$\begin{cases} 2\sqrt{(x+1)(y-1)} = 16-x-y  (1) \\ 2\sqrt{(x+6)(y+4)} - 10 = 16 - x - y  (2)\end{cases}$$      Lấy (1) trừ (2) theo vế, ta được :

$\sqrt{(x+6)(y+4)}$ = $\sqrt{(x+1)(y-1)}$ + 5

 $\Leftrightarrow$  $(x+6)(y+4) = (x+1)(y-1) + 25 + 10\sqrt{(x+1)(y-1)}$

 $\Leftrightarrow$ $xy + 4x + 6y + 24 = xy - x + y + 24 + 10\sqrt{(x+1)(y-1)}$

 $\Leftrightarrow$ $x + y = 2\sqrt{(x+1)(y-1)}$

$\Leftrightarrow$ $x^2 + y^2 + 2xy = 4xy - 4x + 4y - 4$

$\Leftrightarrow$ $x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 4y + 4 = 0$

$\Leftrightarrow$ $x^2 - 2x(y-2) + (y-2)^2 = 0$

$\Leftrightarrow$ $(x-y+2)^2 = 0$

$\Leftrightarrow$ $x = y - 2  (3)$

     Thế $(3)$ vào $(1)$ ta có 

 $(1) \Leftrightarrow \sqrt{y-1} = 2  \Leftrightarrow  y = 5  \Rightarrow  x=3$

Vậy $(x;y) = (3;5)$

 

1/ Cho $a, b, c, d > 0 ; ab \leq 1 ; cd \leq 1$ .
CMR :$\frac{1}{1+a}$ + $\frac{1}{1+b}$ + $\frac{1}{1+c}$ + $\frac{1}{1+d}$  $\leq$  $\frac{4}{1+\sqrt[4]{abcd}}$

Cho tam giác ABC có góc $\widehat{BAC}$ tù. Vẽ đường cao CD và BE của tam giác ABC (D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng S1 là diện tích tam giác ADE, S2 là diện tích tam giác BEM và S3 là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo S1, S2, S3

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết