Giả sử c= \min \{a,b,c \}Khi đó P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \ge \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\Rightarrow 3P \ge (a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right) \ge(a^2+b^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right)\Leftrightarrow 3P \ge \left[ (a-b)^2+2ab \right]\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac {(a-b)^2+2ab}{a^2b^2}\right]=1+\frac{2ab}{(a-b)^2}+\left[ \frac{(a-b)^2+2ab}{ab} \right]^2=1+\frac 2t+(t+2)^2 với t=\frac{(a-b)^2}{ab}(t>0)=5+\frac 2t+t^2+4tTới đây có thể giải = pp hàm số cho gọnmình ko biết xét hàm nên tạm giải = pp tham số hóa3P \ge 5+\frac 2t+t^2+4t=5+\left( \frac{-2+\sqrt 5}{t}+\frac{-2+\sqrt 5}{t}+t^2\right)+\left( \frac{6-2\sqrt 5}{t} +4t\right)\ge 5+3\sqrt[3]{(-2+\sqrt 5)^2}+2\sqrt{4(6-2\sqrt 5) }$\qquad =\frac{11+5\sqrt 5}{6}Vậy \min P= \uparrow \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}+\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},y=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}-\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},z=0$Và các hoán vị
Giả sử
c= \min \{a,b,c \}Khi đó
P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \ge \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}\Rightarrow 3P \ge (a^2+b^2+c^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right) \ge(a^2+b^2)\left(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2} \right)\Leftrightarrow 3P \ge \left[ (a-b)^2+2ab \right]\left[ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac {(a-b)^2+2ab}{a^2b^2}\right]=1+\frac{2ab}{(a-b)^2}+\left[ \frac{(a-b)^2+2ab}{ab} \right]^2=1+\frac 2t+(t+2)^2 với
t=\frac{(a-b)^2}{ab}(t>0)=5+\frac 2t+t^2+4tTới đây có thể giải = pp hàm số cho gọnmình ko biết xét hàm nên tạm giải = pp tham số hóa
3P \ge 5+\frac 2t+t^2+4t=5+\left( \frac{-2+\sqrt 5}{t}+\frac{-2+\sqrt 5}{t}+t^2\right)+\left( \frac{6-2\sqrt 5}{t} +4t\right)\ge 5+3\sqrt[3]{(-2+\sqrt 5)^2}+2\sqrt{4(6-2\sqrt 5) }$\quad
\Leftrightarrow P \ge\frac{11+5\sqrt 5}{6}
Vậy \min P= \uparrow \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}+\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},y=\frac{\sqrt{12-3\sqrt 5}-\sqrt{-6+3\sqrt 5}}{2},z=0$Và các hoán vị