Đề bài sai rồi, phải là: "... Chứng minh trong 3 phương trình sau, tồn tại ít nhất 1 phương trình có nghiệm."Giải thích: Tại $a=b=c=4$ thì cả 3 PT đều có nghiệm là $x=-2\Rightarrow $ đề bài sai.Nếu sửa lại "... Chứng minh trong 3 phương trình sau, tồn tại ít nhất 1 phương trình có nghiệm." thì giải như sau: Giả sử cả 3 PT đều vô nghiệm, ta có: $\begin{cases}a^2-4b<0 \\ b^2-4c<0 \\ c^2-4a<0 \end{cases}$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4a-4b-4c<0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2<4(a+b+c)=48(\bigstar)$ Theo BĐT Bunhiacopski, ta có: $12^2=(a+b+c)^2\leq (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 48.(\bigstar \bigstar)$Từ $(\bigstar)$ và $(\bigstar \bigstar)$ suy ra giả thiết sai nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 phương trình có nghiệm.Click dấu tick nếu đáp án chính xác....
Giả sử cả 3 PT đều
có nghiệm, ta có: $\begin{cases}a^2-4b
\geq 0 \\ b^2-4c
\geq 0 \\ c^2-4a
\geq 0 \end{cases}$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-4a-4b-4c
\geq 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2
\geq 4(a+b+c)=48$ Theo BĐT Bunhiacopski, ta có: $12^2=(a+b+c)^2\leq (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 48.
$Đẳng
t
hức xảy ra t
ại $a
=b=c=4.$T
heo đề b
ài
, $a
,b,c$
là
3 s
ố khác nha
u nên đẳng
t
hức không xảy ra
hay $a^2+b^2+c^2 > 48.$Như vậy giả thiết
$a^2+b^2+c^2 \geq 48$ sai
vì khôn
g tồn t
ại trường hợp $a^2+b^2+c^2 = 48$Từ đó suy ra tồn tại ít nhất 1 trong 3 phương trình
vô nghiệm.Click dấu tick nếu đáp án chính xác....