a. Ta sẽ chứng minh $0Với $n=1$ ta có: $0Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$, tức $0Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$. Thật vậy:$u_{k+1}=u_k^2+\dfrac{u_k}{2}>0$$u_{k+1}=u_k^2+\dfrac{u_k}{2}\le\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}<\dfrac{1}{4}$Vậy $(*)$ đúng với $\forall n\ge1$.b. Ta có:$u_{n+1}-u_n=u_n^2-\dfrac{u_n}{2}=u_n(u_n-\dfrac{1}{2})<0$Suy ra $u_n$ là dãy giảm và bị chặn, nên $\exists L\in\mathbb{R}$ sao cho $\lim u_n=L$Chuyển qua giới hạn ta có:$L=L^2+\dfrac{L}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}L=0\\L=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Rightarrow L=0$ (vì $L\le\dfrac{1}{4}$).Vậy: $\lim u_n=0$
a. Ta sẽ chứng minh $0<u_n\le\dfrac{1}{4},\forall n\ge1 (*)$ bằng quy nạp.Với $n=1$ ta có: $0<u_1=\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}$, đúng.Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$, tức $0<u_k\le\dfrac{1}{4}$.Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$. Thật vậy:$u_{k+1}=u_k^2+\dfrac{u_k}{2}>0$$u_{k+1}=u_k^2+\dfrac{u_k}{2}\le\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}<\dfrac{1}{4}$Vậy $(*)$ đúng với $\forall n\ge1$.b. Ta có:$u_{n+1}-u_n=u_n^2-\dfrac{u_n}{2}=u_n(u_n-\dfrac{1}{2})<0$Suy ra $u_n$ là dãy giảm và bị chặn, nên $\exists L\in\mathbb{R}$ sao cho $\lim u_n=L$Chuyển qua giới hạn ta có:$L=L^2+\dfrac{L}{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}L=0\\L=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Rightarrow L=0$ (vì $L\le\dfrac{1}{4}$).Vậy: $\lim u_n=0$
a. Ta sẽ chứng minh $0Với $n=1$ ta có: $0Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$, tức $0Ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$. Thật vậy:$u_{k+1}=u_k^2+\dfrac{u_k}{2}>0$$u_{k+1}=u_k^2+\dfrac{u_k}{2}\le\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}<\dfrac{1}{4}$Vậy $(*)$ đúng với $\forall n\ge1$.b. Ta có:$u_{n+1}-u_n=u_n^2-\dfrac{u_n}{2}=u_n(u_n-\dfrac{1}{2})<0$Suy ra $u_n$ là dãy giảm và bị chặn, nên $\exists L\in\mathbb{R}$ sao cho $\lim u_n=L$Chuyển qua giới hạn ta có:$L=L^2+\dfrac{L}{2} \Leftrightarrow \left
[\begin{array}{l}L=0\\L=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Rightarrow L=0$ (vì $L\le\dfrac{1}{4}$).Vậy: $\lim u_n=0$