Ta có: sin^{2}A + sin^{2}B + sin^{2}C = 2 + 2xcosAxcosBxcosCMặt khác: Đặt k = coaAxcosBxcosC = \frac{1}{2} [cos(A-B) + cos(A+B)]xcosC\Leftrightarrow 2k = cos(A-B)cosC - cos^{2}C \Leftrightarrow cos^{2}C -cos(A-B)xcosC -2k =0vì pt này có nghiệm nên:\triangle = cos^{2}(A-B) - 8k\geq 0\Rightarrow 8k\leq cos^{2}(A-B) \leq 1 \Rightarrow k\leq \frac{1}{8} hay coaAxcosBxcosC\leq \frac{1}{8}\Rightarrow sin^{2}A + sin^{2}B + sin^{2}C \leq \frac{9}{4}
Ta có:
$sin^{2}A
$ +
$sin^{2}B
$ +
$sin^{2}C
$ = 2 + 2
.cosA
.cosB
.cosCMặt khác: Đặt k = coaA
.cosB
.cosC =
$\frac{1}{2}
$[cos(A-B) + cos(A+B)]
.cosC
$\
Rightarrow
$2k = cos(A-B)cosC -
$cos^{2}C
$ $\Leftrightarrow
$ $cos^{2}C
$ -cos(A-B)
.cosC -2k =0vì pt này có nghiệm nên:
$\triangle
$=
$cos^{2}(A-B)
$ - 8k
$\geq
$0
$\Rightarrow
$ 8k
$\leq
$ $cos^{2}(A-B)
$ $ \leq
$ 1
$\Rightarrow
$ k
$\leq
$ $\frac{1}{8}
$ hay coaA
.cosB
.cosC
$\leq
$ $\frac{1}{8}
$$\Rightarrow
$ $sin^{2}A
$ +
$sin^{2}B
$ +
$sin^{2}C
$ $\leq
$ $\frac{9}{4}
$