Ta có thể viết phương trình thành:$\Leftrightarrow sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)$$\Leftrightarrow sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC$$\Leftrightarrow sin2A-sin2B=cosC(sinB-sinA)$$\Leftrightarrow 2sin(A-B)cos(A+B)=cosC.2sin\frac{B-A}{2}cos\frac{B+A}{2}$$\Leftrightarrow -2cosCsin(A-B)+cosC.2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow 2cosC.sin\frac{A-B}{2}(cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2})=0$Thấy rõ: $cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2}<0$ (1) Do nếu $x<y$ mà ($0<x;y<\pi$) thì $cos x> cos y$. Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2}$ và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}$ (2) nên nếu $A-B>0$ ta dể dàng suy ra (1), nếu $A-B<0$ tức $B-A>0$ suy ra $cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có (2) nên dể dàng suy ra (1)Suy ra: $\Rightarrow cosC=0$ hoặc $sin\frac{A-B}{2}=0$$\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2}$ hoặc $A=B$Vậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C
Ta có thể viết phương trình
lại thành:$\sin
A
\left(2
\cos
A+
\cos
C
\right)=
\sin
B
\left(2
\cos
B+
\cos
C
\right)
\\\Leftrightarrow
\sin2A+
\sin
A
\cos
C=
\sin2B+
\sin
B
\cos
C
\\\Leftrightarrow
\sin2A-
\sin2B=
\cos
C
\left(
\sin
B-
\sin
A
\right)
\\\Leftrightarrow 2
\sin(A-B)
\cos(A+B)=
\cos
C
\times2
\sin\
dfrac{B-A}{2}
\cos\
dfrac{B+A}{2}
\\\Leftrightarrow -2
\cos
C
\sin(A-B)+
\cos
C
\times2
\cos\frac{A+B}{2}
\sin\frac{A-B}{2}=0
\\\Leftrightarrow 2
\cos
C
\sin\
dfrac{A-B}{2}
\left(
\cos\frac{A+B}{2}-
\cos\frac{A-B}{2}
\right)=0$Thấy rõ: $
\cos\frac{A+B}{2}-
\cos\frac{A-B}{2}<0
\,\,(1)
$ Do nếu $x \cos y$. Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2}$ và $cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2}
\,\,(2)
$ nên nếu $A-B>0$ ta dể dàng suy ra
$(1),
$ nếu $A-B<0$ tức $B-A>0$ suy ra $cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có
$(2)
$ nên dể dàng suy ra
$(1)
$$\Rightarrow
\left[\begin{array}{1}\cos
C=0
\\\sin\
dfrac{A-B}{2}=0
\end{array}\right.\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{1}C=\
dfrac{\pi}{2}
\\A=B
\end{array}\right.$Vậy
: $\Delta ABC
$ vuông hoặc cân ở
$C
.$