Chú ý rằng đây là tổng của các số hạng trong một cấp số nhân công bội $1+i$ nên theo công thức ta có$S=1+(1+i)+(1+i)^2+...+(1+i)^{2012}=\frac{(1+i)^{2013}-1}{(1+i)-1}=\frac{(1+i)^{2013}-1}{i}$$S=\frac{i(1+i)^{2013}-i}{i^2}=\frac{i(1+i)^{2013}-i}{-1}=-i(1+i)^{2013}+i$$S=-i\sum_{k=0}^{2013} C_{2013}^ki^k+i=-\sum_{k=0}^{2013} C_{2013}^ki^{k+1}+i$Như vậy phần thực của biểu thức này tính bằng tổng các hệ số sao cho $k$ là số lẻ.Phần thực $=-\sum_{m=1}^{1006} C_{2013}^{2m}i^{2m}=-\sum_{m=1}^{1006} C_{2013}^{2m}(-1)^{m}$Phần ảo tính bằng tổng các hệ số sao cho $k$ là số chẵn.Phần ảo $=-\sum_{n=0}^{1006} C_{2013}^{2n+1}i^{2n}+1=-\sum_{n=1}^{1006} C_{2013}^{2n+1}(-1)^{n}+1$
Chú ý rằng đây là tổng của các số hạng trong một cấp số nhân công bội $1+i$ nên theo công thức ta có$S=1+(1+i)+(1+i)^2+...+(1+i)^{2012}=\frac{(1+i)^{2013}-1}{(1+i)-1}=\frac{(1+i)^{2013}-1}{i}$$S=\frac{i(1+i)^{2013}-i}{i^2}=\frac{i(1+i)^{2013}-i}{-1}=-i(1+i)^{2013}+i$$S=-i\sum_{k=0}^{2013} C_{2013}^ki^k+i=-\sum_{k=0}^{2013} C_{2013}^ki^{k+1}+i$Như vậy phần thực của biểu thức này tính bằng tổng các hệ số sao cho $k$ là số lẻ.Phần thực $=-\sum_{m=1}^{1006} C_{2013}^{2m}i^{2m}=-\sum_{m=1}^{1006} C_{2013}^{2m}(-1)^{m}$Phần ảo tính bằng tổng các hệ số sao cho $k$ là số chẵn.Phần thực $=-\sum_{n=0}^{1006} C_{2013}^{2n+1}i^{2n}+1=-\sum_{n=1}^{1006} C_{2013}^{2n+1}(-1)^{n}+1$
Chú ý rằng đây là tổng của các số hạng trong một cấp số nhân công bội $1+i$ nên theo công thức ta có$S=1+(1+i)+(1+i)^2+...+(1+i)^{2012}=\frac{(1+i)^{2013}-1}{(1+i)-1}=\frac{(1+i)^{2013}-1}{i}$$S=\frac{i(1+i)^{2013}-i}{i^2}=\frac{i(1+i)^{2013}-i}{-1}=-i(1+i)^{2013}+i$$S=-i\sum_{k=0}^{2013} C_{2013}^ki^k+i=-\sum_{k=0}^{2013} C_{2013}^ki^{k+1}+i$Như vậy phần thực của biểu thức này tính bằng tổng các hệ số sao cho $k$ là số lẻ.Phần thực $=-\sum_{m=1}^{1006} C_{2013}^{2m}i^{2m}=-\sum_{m=1}^{1006} C_{2013}^{2m}(-1)^{m}$Phần ảo tính bằng tổng các hệ số sao cho $k$ là số chẵn.Phần
ảo $=-\sum_{n=0}^{1006} C_{2013}^{2n+1}i^{2n}+1=-\sum_{n=1}^{1006} C_{2013}^{2n+1}(-1)^{n}+1$