Quay lại đáp án

Gọi I(a;b;c) là trung điểm của BC. Do $G \in d \Rightarrow G(2 + t,2 + 2t, - 2 - t)$ Ta có:$\overrightarrow {AG} = (t + 3,2t, - t - 3)$$\overrightarrow {AI} = (a + 1,b - 2,c - 1)$Mà $\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}(t + 3,2t, - t - 3)$$\Rightarrow \begin{cases}a + 1 = \frac{3}{2}(t + 3) \\ b - 2 = \frac{3}{2}.2t \\ c - 1 = \frac{3}{2}( - t - 3)\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a = \frac{3}{2}t + \frac{7}{2} \\ b = 3t + 2 \\ c = - \frac{3}{2}t - \frac{7}{2} \end{cases}$Mà $I \in (P) \Rightarrow 2(\frac{3}{2}t + \frac{7}{2}) + 2(3t + 2) - ( - \frac{3}{2}t - \frac{7}{2}) - 4 = 0$$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow G(1,0, - 1)$$\Rightarrow \overrightarrow {AG} = (2, - 2, - 2) \Rightarrow A{G^2} = 12$Ta lại có:$B{C^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC}$$\Rightarrow 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC} = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}$Mà $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AG}$$\Rightarrow 9A{G^2} = {(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC} = 2(A{B^2} + A{C^2}) - B{C^2}$$\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = \frac{{9A{G^2} + B{C^2}}}{2} = \frac{{9.12 + 16}}{2} = 62$

Gọi I(a;b;c) là trung điểm của BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do $G \in d \Rightarrow G(2 + t,2 + 2t, - 2 - t)$ Ta có:$\overrightarrow {AG} = (t + 3,2t, - t - 3)$$\overrightarrow {AI} = (a + 1,b - 2,c - 1)$Mà $\overrightarrow {AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}(t + 3,2t, - t - 3)$$\Rightarrow \begin{cases}a + 1 = \frac{3}{2}(t + 3) \\ b - 2 = \frac{3}{2}.2t \\ c - 1 = \frac{3}{2}( - t - 3)\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}a = \frac{3}{2}t + \frac{7}{2} \\ b = 3t + 2 \\ c = - \frac{3}{2}t - \frac{7}{2} \end{cases}$Mà $I \in (P) \Rightarrow 2(\frac{3}{2}t + \frac{7}{2}) + 2(3t + 2) - ( - \frac{3}{2}t - \frac{7}{2}) - 4 = 0$$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow G(1,0, - 1)$$\Rightarrow \overrightarrow {AG} = (2, - 2, - 2) \Rightarrow A{G^2} = 12$Ta lại có:$B{C^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC}$$\Rightarrow 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC} = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}$Mà $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AG}$$\Rightarrow 9A{G^2} = {(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC} = 2(A{B^2} + A{C^2}) - B{C^2}$$\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = \frac{{9A{G^2} + B{C^2}}}{2} = \frac{{9.12 + 16}}{2} = 62$