ta có (1+x)^{2n}=C^{0}_{2n} + x.C^{1}_{2n}+.........+x^{n}.C^{n}_{2n}+......+ x^{2n}.C^{2n}_{2n} (1-x)^{2n} = C^{0}_{2n}-x.C^{1}_{2n}+........+(-1)^{n}.x^{n}.C^{n}_{2n}\pm.....+x^{2n}.C^{2n}_{2n}từ đó ta sẽ có hệ số của x^{2n} trong tích của (1+x)^{2n} \times(1-x)^{2n} là (C^{0}_{2n})^{2} - (C^{1}_{2n})^{2}+.......+(-1)^{n}\times(C^{n}_{2n})^{2}\pm....+(C^{2n}_{2n})^{2} (*)mà (1+x)^{2n} \times(1-x)^{2n}=(1-x^{2})^{2n}.khai triển cái này ra đươc hệ số của x^{2n} sẽ là (-1)^{n}\timesx^{n}_{2n} (**)từ (*) và (** ) ta được điều cần cm
ta có
$(1+x)^{2n}=C^{0}_{2n} + x.C^{1}_{2n}+.........+x^{n}.C^{n}_{2n}+......+ x^{2n}.C^{2n}_{2n}
$ $(1-x)^{2n} = C^{0}_{2n}-x.C^{1}_{2n}+........+(-1)^{n}.x^{n}.C^{n}_{2n}\pm.....+x^{2n}.C^{2n}_{2n}
$từ đó ta sẽ có hệ số của
$x^{2n}
$ trong tích của
$(1+x)^{2n} \times(1-x)^{2n}
$ là
$(C^{0}_{2n})^{2} - (C^{1}_{2n})^{2}+.......+(-1)^{n}\times(C^{n}_{2n})^{2}\pm....+(C^{2n}_{2n})^{2} (*)
$mà
$(1+x)^{2n} \times(1-x)^{2n}=(1-x^{2})^{2n}
$.khai triển cái này ra đươc hệ số của
$x^{2n}
$ sẽ là
$(-1)^{n}\times
x^{n}_{2n} (**)
$từ (*) và (** ) ta được điều cần cm