{2|x|+|x|=x2+y+mx2+y2=1 (I)Điều kiện cần. Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0). Do (x0;y0) là nghiệm của hệ (I), do sự xuất hiện của các thành phần |x|,x2 suy ra (−x0,y0) cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra x0=−x0⇔x0=0Thay vào hệ (I), ta được {m=−yy2=1Suy ra m=−1 hoặc m=1.Điều kiện đủ. a) Nếu m=−1 thì hệ (I) có dạng{2|x|+|x|=x2+y−1(1)x2+y2=1(2) (II)Từ PT (2)⟹x2≤1,y≤1⟹x2+y−1≤1Mặt khác hiển nhiên thấy, 2|x|+|x|≥20+0=1Từ hai điều này dẫn tới {|x|=0x2=1y=1, đây là điều không thể xảy ra. Như vậy trong trường hợp này hệ đã cho vô nghiệm.Do đó m=−1 không là giá trị cần tìm. b) Nếu m=1 thì hệ (I) có dạng{2|x|+|x|=x2+y+1x2+y2=1 (III)⇔{2|x|+|x|−x2−1=yx2+(2|x|+|x|−x2+1)2−1=0(3)Xét PT (3) dưới dạng f(x)=0, trong đó f(x)=x2+(2|x|+|x|−x2−1)2−1.Nhận thấy f(x) là hàm liên tục trên R và f(0)=−1,f(1)=1 nên PT f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1) mặt khác f(x) là hàm chẵn nên nó nhận thêm 1 nghiệm phân biệt khác là số đối của nghiệm trên.Như vậy hệ (III) sẽ có ít nhất hai nghiệm.Do đó m=1 cũng không là giá trị cần tìm. Kết luận. Không tồn tại giá trị của m nào để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
{2|x|+|x|=x2+y+mx2+y2=1 (I)Điều kiện cần. Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất
(x0;y0). Do
(x0;y0) là nghiệm của hệ (I), do sự xuất hiện của các thành phần
|x|,x2 suy ra
(−x0,y0) cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra
x0=−x0⇔x0=0Thay vào hệ (I), ta được
{m=−yy2=1Suy ra
m=−1 hoặc
m=1.Điều kiện đủ. a) Nếu
m=−1 thì hệ (I) có dạng
{2|x|+|x|=x2+y−1(1)x2+y2=1(2) (II)Từ PT
(2)⟹x2≤1,y≤1⟹x2+y−1≤1Mặt khác hiển nhiên thấy,
2|x|+|x|≥20+0=1Từ hai điều này dẫn tới
{|x|=0x2=1y=1, đây là điều không thể xảy ra. Như vậy trong trường hợp này hệ đã cho vô nghiệm.Do đó
m=−1 không là giá trị cần tìm. b) Nếu
m=1 thì hệ (I) có dạng
{2|x|+|x|=x2+y+1x2+y2=1 (III)
⇔{2|x|+|x|−x2−1=yx2+(2|x|+|x|−x2+1)2−1=0(3)Xét PT
(3) dưới dạng
f(x)=0, trong đó
f(x)=x2+(2|x|+|x|−x2−1)2−1.Nhận thấy
f(x) là hàm liên tục trên
R và
f(0)=−1,f(1)=1 nên PT
f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0,1) mặt khác
f(x) là hàm chẵn nên nó nhận thêm
1 nghiệm phân biệt khác là số đối của nghiệm trên.Như vậy hệ (III) sẽ có ít nhất hai nghiệm.Do đó
m=1 cũng không là giá trị cần tìm. Kết luận. Không tồn tại giá trị của
m nào để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
Các bạn có thể tham khảo thêm phương pháp này tại chuyeen đề của chúng tôihttp://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113571/dieu-kien-can-va-du-trong-loi-giai-bai-toan-dai-so