$\color{red}{\begin{cases}y^{3}+3y^{2}+y+4x^{2}-22x+21=(2x+1)\sqrt{2x-1} \\ 2x^{2}-11x+9=2y \end{cases}}$

Question

Giải hệ phương trình:

★F.29★ · Answer 1 · 7/7/2019 6:16:14 AM

Từ PT thứ hai

$\Rightarrow 4x^{2}-22x+21=4y+3$ , thay và PT thứ nhất ta được

$y^3+3y^2+5y+3=(2x+1)\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow (y+1)(y^2+2y+3)=(2x+1)\sqrt{2x-1}$
Đặt

$f(t)=t(t^2+2)$ thì PT trên

$\Leftrightarrow f(y+1)=f(\sqrt{2x-1})$
Ta có

$f'(t)=3t^2+2>0 \quad \forall t$ nên

$f$ là hàm đồng biến, suy ra

$y+1=\sqrt{2x-1}\Rightarrow 2x^{2}-11x+11=2y +2=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow 2x^{2}-11x+11=2\sqrt{2x-1}$

$\Rightarrow (2x^{2}-11x+11)^2=4(2x-1)\Rightarrow (x-1)(x-5)(2x-5)^2=0$
Từ đấy thu được:

$(x,y) \in \left\{ {(1,0), (5,2),(5/2,1)} \right\}$
Thử lại chỉ có

$\color{green}{(x,y) \in \left\{ {(1,0), (5,2)} \right\}}$

Thanh Long · Answer 2 · 7/5/2019 10:24:56 PM

Điều kiện của hệ phương trình là

$x\geq \frac{1}{2}$ .

Biến đổi tương đương hệ phương trình này, ta được

$\begin{cases}y^3+3y^2+y+2(2x^2-11x+9)+3=(2x+1)\sqrt{2x-1} \\ 2x^2-11x+9=2y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y^3+3y^2+y+4y+3=(2x+1)\sqrt{2x-1} \\ 2x^2-11x+9=2y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(y+1)^3+2(y+1)=(\sqrt{2x-1})^3+2\sqrt{2x-1} \\ 2x^2-11x+9=2y \end{cases}$

$(*)$ .

Xét hàm số

$f(t)=t^3+2t,\forall t \in R$ . Khi đó ta có

$f'(t)=3t^2+2,\forall t \in R$ .

Suy ra

$f'(t)>0,\forall t \in R$ . Điều này cho thấy hàm số

$f$ đồng biến trên

$R$ .

Từ đó ta có

$(*)\Leftrightarrow \begin{cases}y+1=\sqrt{2x-1} \\ 2x^2-11x+9=2y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq -1\\x=\frac{y^2+2y+2}{2} \\ 2x^2-11x+9=2y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq -1\\x=\frac{y^2+2y+2}{2} \\2. (\frac{y^2+2y+2}{2})^2-11.(\frac{y^2+2y+2}{2})+9=2y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq -1\\x=\frac{y^2+2y+2}{2} \\ y^4+4y^3-3y^2-18y=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y\geq -1\\x=\frac{y^2+2y+2}{2} \\ y=0\vee y=2\vee y=-3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=1 \\ y=0 \end{cases}\vee \begin{cases}x= 5\\ y=2 \end{cases}.$

Vậy, hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt, đó là

$(x;y)=(1;0)$ , hoặc

$(x;y)=(5;2)$ .$

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +29 vỏ sò bởi ★F.29★, có thời hạn đến 29-12-29 11:28 PM