Cần chứng minh: abc≥(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)Đặt a+b−c=x;a−b+c=y;−a+b+c=z
Nên, x+y=2a;y+z=2c;z+x=2b
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: (x+y)(y+z)(z+x)≥8abc
Mà (x+y)(y+z)(z+x)≥2.√xy.2√yz.2√zx=8xyz
Nên abc≥(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)=(1−2a)(1−2b)(1−2c) (Do a+b+c=1)
Nên abc≥1+4ab+4bc+4ca−2a−2b−2c−8abc
⇔9abc+1≥4ab+4bc+4ca(Do a+b+c=1) (1)
Mà 3ab+3bc+3ca≤(a+b+c)2=1(Hằng đẳng thức) (2)
Từ (1) và (2) , ta có: 9abc+2≥7ab+7bc+7ca
Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c=13