Bất đẳng thức lớp 9

Question

Cho

$a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn

$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ . Tìm Min:

A=

$\frac{a+b}{2a-b} + \frac{b+c}{2c-b}$

laitridung2004 · Answer 1 · 4/19/2019 8:05:59 PM

Ta có:

$A=\Sigma \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{2}{a}-\frac{1}{b}}$

Mà :

$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}. Nên \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{b} - \frac{1}{c}$

Và:

$\frac{2}{a} - \frac{1}{b} = \frac{3}{b}-\frac{2}{c}$

Nên,

$A=\Sigma \frac{\frac{3}{b}-\frac{1}{c}}{\frac{3}{b}-\frac{2}{c}}$

Đặt

$\frac{3}{b}=x;\frac{1}{a}=y;\frac{1}{c}=z$

Có:

$3y+3z=2x$

$A=\Sigma \frac{x-y}{x-2y}$

$2A=\Sigma \frac{2x-2y}{x-2y}$

$2A-2=\Sigma \frac{x}{x-2y}$

$2A-2= \frac{x}{x-2y} + \frac{x}{x-2z} \geq \frac{x.(1+1)^2}{2x-2y-2z}$

$= \frac{6y+6z}{y+z}=6$

Nên,

$2A\geq 8 \Leftrightarrow A\geq 4$

Dấu = xảy ra

$\Leftrightarrow y=z \Leftrightarrow a=c$

$\Leftrightarrow a = b = c$

1 Đáp án