Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4} $Tương tự rồi cộng lại ta có $\sum\frac{a^3}{(1+b)(1+c)} +\frac{3}{4}+\frac{a+b+c}{4}\geq \frac{3(a+b+c)}{4}=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2} -\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$ ( Do abc=1)
Do đó ta có $VT\geq 4.\frac{3}{4}=3$
Do đó ta có đpcm dấu bằng xảy ra khi a=b=c