BĐT số 2

Question

Xét các số thực dương

$x, y$ thỏa mãn

$x+y+xy=3$ . Tìm Max

$P=\frac{3x}{y+1}+\frac{3y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}-x^2-y^2$

gửi link tui xem -_- mà đây là đề thi ĐH của trg nào v
Mai nhỉ.?! Cái này đề thi đh khối D 2007, ra 3/2., còn bài của a mon ko có ai b2, nhưng có tg tự

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 5/16/2016 2:53:12 PM

Cách 3 : Ad bđt AM-GM
Có :

$P=\frac{(x+xy+y)x}{y+1}+\frac{(x+xy+y)y}{x+1}+\frac{xy}{x+y}=x^{2}-y^{2}$

$= \frac{xy}{y+1}+\frac{xy}{x+1}+\frac{xy}{x+y} \leq \frac{xy}{2\sqrt{y}}+\frac{xy}{2\sqrt{x}}+\frac{xy}{2\sqrt{xy}} (bđt AM-GM)$

$=\frac{1}{2}(x\sqrt{y}+y\sqrt{x} +\sqrt{xy})$

$=> P \leq \frac{1}{2}(x\sqrt{y}+y\sqrt{x} +\sqrt{xy}) \leq \frac{1}{2}\left[ { \frac{x(y+1)}{2}+\frac{y(x+1)}{2}+\frac{x+y}{2}} \right]= \frac{3}{2} ( bđt AM-GM)$
Vậy

$Max P= \frac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=1$

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 5/16/2016 2:44:39 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Cách 2 : Sd chiều biến thên của hàm số

$P=3\frac{(x+y)^{2}-2xy+x+y}{xy+x+y+1}+\frac{xy}{x+y}-(x+y)^{2}+2xy$

$=\frac{1}{4}\left[ { -(x+y)^{2} +x+y+\frac{12}{x+y}+2 } \right].$ ( do

$xy=3-(x+y))$
Đặt :

$t=x+y \geq 2$ , Xét hàm số :

$g(t)=-t^{2}+t+\frac{12}{t}+2 trên [2;+\infty)$

$g'(t)=-2t-\frac{12}{t^{2}}+1 <0 \forall t\geq 2=> g(t) nghịch biến trên (2;+ \infty)$
Do đó

$Max g(t)=g(2)=6 => Max P= 3/2 <=> x=y=1$

$[2; +\infty)$

Trả lời 16-05-16 02:44 PM

☼SunShine❤️
14K 1 55 157

1M 788K

20 22

@_@ *Mèo9119* @_@ · Answer 3 · 5/15/2016 9:34:50 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

$P=\frac{3(x^2+y^2)+3(x+y)}{4}+\frac{3-(x+y)}{x+y}-(x^2+y^2)$

$=-\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{3(x+y)}{4}+\frac{3}{x+y}-1$

$=-\frac{(x+y)^2}{4}+(x+y)-1-\frac{x+y}{4}+\frac{3}{x+y}+\frac{xy}{2}$

$=-(\frac{x+y}{2}-1)^2-\frac{x+y}{4}+\frac{3}{x+y}+\frac{3-(x+y)}{2}$

$=-(\frac{x+y}{2}-1)^2-3(\frac{x+y}{4}-\frac{1}{x+y})+\frac{3}{2}$

$=-(\frac{x+y}{2}-1)^2-3.\frac{(x+y)^2-4}{4(x+y)}+\frac{3}{2}$ (1)

Ta có:

$3=xy+x+y \le \frac{(x+y)^2}{4}+x+y=(\frac{x+y}{2}+1)^2-1$

=>

$(\frac{x+y}{2}+1)^2 \ge 4$

=>

$x+y \ge 2$

=>

$(x+y)^2 \ge 4$ (do

$x+y>0$ ) (2)

từ (1) và (2) =>

$P \le \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra <=>

$x=y=1$

Vậy

$P_{max}=\frac{3}{2}$ tại

$x=y=1$

Trả lời 15-05-16 09:34 PM

@_@ *Mèo9119* @_@
11K 22 38

9K 266K

1

để em triển nốt cách nữa ::D – ☼SunShine❤️ 16-05-16 06:04 AM

chị ơi bài của e đúng chưa ah? – Confusion 15-05-16 09:45 PM

tran85295 · Answer 4 · 5/13/2016 9:49:29 AM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Ta sẽ chứng minh :

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$ (*)

(*)

$\Leftrightarrow \frac{x^2+x+y^2+y}{xy+x+y+1} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt {xy}+1}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2).\sqrt{xy}+(x+y)\sqrt{xy}+(x^2+y^2+x+y) \ge 2\sqrt{xy}(x+y)+(xy+1)2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2)\sqrt{xy}+(x^2+y^2+x+y) \ge\sqrt{xy}(x+y)+(xy+1)2\sqrt{xy}$

Bất đẳng thức cuối đúng do có đánh giá sau

$(x^2+y^2)\sqrt{xy} \ge2xy\sqrt{xy}$

$x^2+y^2 \ge \sqrt{xy}(x+y)$

$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

~~~~~~~~~~~~~

$\Rightarrow P \ge \frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{x+y}-(x^2+y^2)$

$=\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{3-xy}-(x+y)^2+2xy$

$=\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{3-xy}-(3-xy)^2+2xy$

$=\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{3-xy}-x^2y^2+8xy-9$

$\qquad (0<xy \le 1)$

Tới đây chị thử khảo sát hàm 1 biến xem :D

Trả lời 13-05-16 09:49 AM

tran85295
36K 1 37 123

10M 559K

2 4

-_- đồ " Con vịt con " ết ( AIDS) – ☼SunShine❤️ 14-05-16 10:59 PM

sida :)))) – tran85295 14-05-16 10:52 PM

-_- đã thế báo cáo ng ra đề :| tạm tha – ☼SunShine❤️ 14-05-16 10:49 PM

chỉ khi ko đưa ra lời giải rõ ràng, spam,.. thì báo cáo – tran85295 14-05-16 10:40 PM

lời giải sai ko có nghĩa là báo cáo – tran85295 14-05-16 10:39 PM

:| đề sai => lời giải sai :| , tui đi soi -_- nhất định p kéo ông lên 7 chấm – ☼SunShine❤️ 14-05-16 10:30 PM

hehe bài này báo cáo là lên 7 chấm đó – tran85295 14-05-16 10:26 PM

bài này :| xứng đáng 1 chấm k – ☼SunShine❤️ 14-05-16 10:24 PM

thế mà ns như thật -_- Tui chỉ CM đc Max thôi – ☼SunShine❤️ 14-05-16 09:49 PM

đoán thế thôi – tran85295 14-05-16 09:47 PM

tui ko biết tại vì chưa học khảo sát hàm số – tran85295 14-05-16 09:46 PM

đấy là Max chứ – ☼SunShine❤️ 14-05-16 09:45 PM

Min = bn – ☼SunShine❤️ 14-05-16 09:23 PM

Hỏi	13-05-16 06:49 AM
Lượt xem	2763
Hoạt động	16-05-16 02:53 PM

BĐT số 2

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT số 2

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan